Разложение периодической функции в ряд Фурье

[reterty]

Имеется следующая периодическая функция:

$$u_x (\varphi)=\frac{f_0\sin \varphi}{\sqrt{( f_0\sin\varphi) ^2+1}}.$$

Разлагаем ее в гармонический ряд Фурье:

$$u_x(\varphi)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1} ^{\infty}a_n \cos(n \varphi)+\sum_{n=1} ^{\infty}b_n \sin(n \varphi),$$

где

$$a_0=\int_{-\pi}^{\pi} u_x(\varphi) \,{\rm d}\varphi \, (1)$$

$$a_n=\int_{-\pi}^{\pi} u_x(\varphi)\cos(n \varphi) \,{\rm d}\varphi \, (2)$$

$$b_n=\int_{-\pi}^{\pi} u_x(\varphi)\sin(n \varphi) \,{\rm d}\varphi \, (3).$$

Коэффициент $a_0$ обращается в нуль поскольку подинтегральная функция в (1) является нечетной. По этой же причине равны нулю все коэффициенты $a_n$. Коэффициенты $b_n$ с четными номерами $n$ также равны нулю вследствие того что подинтегральная функция в (3) является антипериодической на всей положительной (отрицательной) полуоси $\varphi$ с антипериодом $\pi/n$. Корректно ли я описал равенство нулю вышеуказанных коэффициентов разложения? (нужно для статьи). Заранее спасибо.

[ewert]

Что касается а_энных -- тут, конечно, никаких вопросов. А вот насчёт б_два_катых -- тут претензии к стилистике. Т.е. факт-то, конечно, тоже верен. Но вот что такое "антипериодичность" -- я лично понятия не имею и даже иметь не хочу. Т.е. после Вашего сообщения догадываюсь, какая выкладка имелась в виду, но сам термин мне не нравится.

[reterty]

ewert в сообщении #1588421 писал(а):

Что касается а_энных -- тут, конечно, никаких вопросов. А вот насчёт б_два_катых -- тут претензии к стилистике. Т.е. факт-то, конечно, тоже верен. Но вот что такое "антипериодичность" -- я лично понятия не имею и даже иметь не хочу. Т.е. после Вашего сообщения догадываюсь, какая выкладка имелась в виду, но сам термин мне не нравится.

Возможно, Вы можете предложить более ясное и прозрачное обьяснение равенства нулю б_два_катых. Буду тогда премного благодарен Вам.

[RIP]

Просто подынтегральная функция удовлетворяет равенствам $f(-x)=f(x)$, $f(\pi-x)=-f(x)$. Первое равенство позволяет свести интеграл к отрезку $[0,\pi]$ (для (не)чётных функций в формулах для коэффициентов сразу пишут интеграл от $0$ до $\pi$; кстати, коэффициент перед интегралами потеряли). Из второго равенства следует обнуление, в силу тождества $\int_{0}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi}f(\pi-x)\,\mathrm{d}x$.

[Евгений Машеров]

Если n чётно, то в полупериод функции $u_x(\varphi)$ укладывается чётное число периодов функции $\sin(n\varphi)$, причём для каждой точки, в которой $u_x(\varphi)$ отрицательна, можно указать точку, в которой эта функция положительна, а $\sin(n\varphi)$ принимает то же значение, что и в первой точке.

[Markiyan Hirnyk]

В формулах (1)-(3) пропущены множители $\frac 1 \pi$ перед интегралами (см. , например,Вики). Далее, эти интегралы находятся в аналитическом виде для конкретных значений, например,

Integrate[( Sin[t] Sin[3 t])/Sqrt[1 + Sin[t]^2], {t, -\[Pi], \[Pi]}]
12 EllipticE[-1] - (52 EllipticK[-1])/3

Integrate[(f0*Sin[t] Sin[3 t])/Sqrt[1 + f0^2*Sin[t]^2], {t, -\[Pi], \[Pi]}, Assumptions -> f0 > 0]

(2 (Sqrt[  1 + f0^2] (8 + f0^2) EllipticE[-f0^2] + (8 + 9 f0^2 + 
        f0^4) EllipticE[f0^2/( 1 + f0^2)] - (8 + 5 f0^2) (Sqrt[1 + f0^2] EllipticK[-f0^2] + 
        EllipticK[f0^2/(1 + f0^2)])))/(3 f0^3 Sqrt[1 + f0^2])

[wrest]

Это ж меандр при больших $f_0$:

[ewert]

wrest в сообщении #1588449 писал(а):

Это ж меандр

Меандр тут абсолютно не при чём (но вовсе не "ни", раз уж я начал лингвистировать; частица "ни" после слова "абсолютно" неуместна и даже безграмотна чуть более чем абсолютно). А при чём только то, что на второй половине периода раскладываемая функция повторяет себя же, но с противоположным знаком. (Вероятно, ув. RIP именно об этом и говорил; лень думать.) И да; возможно, это можно обозвать антипериодичностью; но мне просто само введение избыточных терминов не в жилу.

[wrest]

ewert в сообщении #1588553 писал(а):

И да; возможно, это можно обозвать антипериодичностью; но мне просто само введение избыточных терминов не в жилу.

А... вы об этом. Ну да, Интернет нам отвечает что

Цитата:

Одним из распространенных подмножеств периодических функций является антипериодические функции . Это функция $f$ такая, что $f (x + P) =-f(x)$ для всех $x$. (Таким образом, $P$-антипериодическая функция является $2P$-периодической функцией.) Например, функции синуса и косинуса являются $\pi$-антипериодическими и $2\pi$-периодическими. Хотя $P$-антипериодическая функция является $2P$-периодической функцией, обратное не обязательно верно.

Но определение маргинальное, нераспространённое.

[ewert]

wrest в сообщении #1588554 писал(а):

Но определение маргинальное

Ну а я об чём -- ровно о маргинальности. Лучше просто выписать пару интегральчиков в пояснение. Текст удлиннится на две-три строчки, но зато никаких недоумений не останется.

Пыс. Нормировочные коэффициенты перед интегралами, естественно, были потеряны. Но кому они нужны -- в данном-то контексте. Я на это даже и внимания не обратил.

[ozheredov]

ewert в сообщении #1588421 писал(а):

Но вот что такое "антипериодичность" -- я лично понятия не имею и даже иметь не хочу.

А я хочу. reterty, то такое антипериодичность, если можно с примером?

[reterty]

ozheredov в сообщении #1588577 писал(а):

ewert в сообщении #1588421 писал(а):

Но вот что такое "антипериодичность" -- я лично понятия не имею и даже иметь не хочу.

А я хочу. reterty, то такое антипериодичность, если можно с примером?

сдвиг аргумента функции на антипериод приводит к изменению знака функции, абсолютное значение функции не изменяется. Синус и косинус антипериодические функции с антипериодом $\pi$.

-- Пт апр 07, 2023 02:10:04 --



-- Пт апр 07, 2023 02:14:03 --

wrest в сообщении #1588449 писал(а):

Это ж меандр при больших $f_0$:

Хорошее замечание. не подскажите англоязычную ссылку на "обозвание" такого радиотехнического сигнала меандром?

[reterty]

я вполне удовлетворен строгим обоснованием RIP.

[wrest]

reterty в сообщении #1588585 писал(а):

не подскажите англоязычную ссылку на "обозвание" такого радиотехнического сигнала меандром?

Не, по-английски так не говорят.

[ewert]

Хм, забавно. Я всегда считал, что меандр -- это просто прямоугольный импульс (во всяком случае, в радиотехнике это именно так). Но вот сейчас погуглил -- и оказалось, что это всплывает где-то в восемнадцатую очередь, в первую же что-то там коммерческое (хотя и явно радиотехническое по происхождению).