диагональ бесконечномерного куба - есть или нет

[granit201z]

Сидел себе представлял действительные числа (от $0$ до $1$) как векторы (направленные палки) бесконечномерного пространства с целочисленными координатами от $0$ до $9$. Т. е. каждое действительное число представляет собою радиус-вектор, указывающий в один из узлов в положительной гипер-четверти (или как ее назвать) этого пространства.
Ну и границей для рассматриваемых мною чисел в этом пространстве должен был стать вектор $(9; 9; 9;....) $. По сути это просто диагональ бесконечномерного куба со стороной $9$.
И вот я захотел понять, а какой же угол между этим вектором и любым из ребер этого куба (т. е. одним из ортов пространства). После некоторых раздумий пришел к выводу, что косинус этого угла должен быть:
$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+1+1+...}}=0$
Т.е. угол между диагональю и любым из ребер - прямой. А следовательно диагональ непредставима векторной суммой ребер, а следовательно и не лежит в пространстве той же размерности.
Что-то непонятное получается: С одной стороны диагональ задана как вектор определенного пространства, а с другой она не может быть вектором этого пространства

-- 22.03.2023, 10:51 --

И что еще интересно. При таком рассмотрении действительных чисел у них есть соседи. Их, конечно, бесконечно много, но между ними не находятся никакие другие действительные числа

[Dmitriy40]

А что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

А понятие "соседи" будет зависеть от системы счисления (10 или 16 или 2 или 188), в которой записывается число, т.е. свойства отношений между числами оказываются присущи не самим числам, а их записи. Так может это и не числа (или не отношения) вовсе, а нечто другое?

[granit201z]

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):

А что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

не так сильно, потому что, например, прямые имеют также бесконечную длинну, но угловые отношения между ними такие же, как и у отрезков, принадлежащих этим прямым

-- 22.03.2023, 11:29 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):

Так может это и не числа (или не отношения) вовсе, а нечто другое?

может. числа это просто отправная точка, с которой я начал эту "геометрию" представлять. А окончательно запутался я уже не в числах, а в кубе с его диагональю

-- 22.03.2023, 11:34 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):

что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

еще такой момент - когда я записал косинус как отношение катета к гипотенузе длинны посократились, поэтому меня это не так сильно и смутило

-- 22.03.2023, 11:37 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):

А понятие "соседи" будет зависеть от системы счисления

собственно как и сам вектор (в смысле направленного отрезка)

-- 22.03.2023, 12:07 --

Ну и опять же, для всех конечномерных кубов с увеличением размерности косинус между диагональю и ребром стремится к нулю, а диагональ, соответственно к бесконечности. И это выглядит нормальным (диагональ все-равно не приобретает свойств дополнительного измерения) . А у бесконечномерного куба все ломается - имеем счетное множество измерений, но его не хватает, чтобы выразить эту диагональ.

[EminentVictorians]

granit201z в сообщении #1586265 писал(а):

Сидел себе представлял действительные числа (от $0$ до $1$) как векторы (направленные палки) бесконечномерного пространства с целочисленными координатами от $0$ до $9$.

А можете строго сформулировать, какое векторное пространство, над каким полем и кто базис?

[granit201z]

EminentVictorians в сообщении #1586283 писал(а):

можете строго сформулировать, какое векторное пространство, над каким полем и кто базис?

затрудняюсь. особенно с базисом
бесконечномерное пространство над полем действительных чисел с...

[EminentVictorians]

granit201z в сообщении #1586286 писал(а):

бесконечномерное пространство над полем действительных чисел

Такое пространство как минимум не изоморфно $\mathbb R$ (потому что $\mathbb R$ - это тоже векторное пространство над полем действительных чисел, но конечномерное).

По-моему, такого рода задачи должны начинаться со строгой постановки.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1586265 писал(а):

бесконечномерного пространства

Бесконечномерные пространства бывают разные.
Есть гильбертово пространство $l_2$ - но в нём не любые наборы координат допустимы, и точки $(1,1,1,\ldots)$ просто вообще не существует. "Единичный куб" можно попробовать определить, но это будет неограниченное тело, не очень-то похожее на куб, и никакой главной диагонали у него просто не будет.

Есть пространство $l_\infty$, в котором точка $(1,1,1,\ldots)$ существует, а с нею и "диагональ единичного куба". Но в этом пространстве нельзя определить угол между двумя векторами (вообще не вводится такое понятие), а поэтому нельзя говорить и про косинус угла.

granit201z в сообщении #1586265 писал(а):

диагональ непредставима векторной суммой ребер, а следовательно и не лежит в пространстве той же размерности.
Что-то непонятное получается: С одной стороны диагональ задана как вектор определенного пространства, а с другой она не может быть вектором этого пространства

При рассмотрении бесконечномерных пространств "векторные суммы" приходится рассматривать двух видов: конечные и бесконечные (т.е. ряды). И по свойствам они сильно отличаются друг от друга. Впрочем, вектор $(1,1,1,\ldots)$ не представляется в виде хоть конечной, хоть бесконечной векторной суммы векторов, лежащих на рёбрах куба, даже и в пространстве $l_\infty$. То есть эти рёбра не образуют "систему координат" в пространстве $l_\infty$. (В $l_2$ они образуют "систему координат", но там нет точки $(1,1,1,\ldots)$.)

[granit201z]

EminentVictorians в сообщении #1586288 писал(а):

По-моему, такого рода задачи должны начинаться со строгой постановки

Согласен. То-то, я смотрю, у меня постоянно какая-то дичь выходит

-- 22.03.2023, 13:35 --

Mikhail_K в сообщении #1586289 писал(а):

пространстве $l_\infty$.

а что означают индексы в этом обозначении?

-- 22.03.2023, 13:39 --

granit201z в сообщении #1586295 писал(а):

Есть гильбертово пространство $l_2$ - но в нём не любые наборы координат допустимы, и точки $(1,1,1,\ldots)$ просто вообще не существует

из-за того, что там только комплексные координаты?

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1586295 писал(а):

а что означают индексы в этом обозначении?

Они соответствуют разным формулам для расстояния между точками. Вообще, по-разному определять расстояния можно и в конечномерных пространствах - так получаются пространства $\mathbb{R}^n_p$, $p\in[1,+\infty]$; при $p=2$ это обычное $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb{R}^n$. Точно так же из пространств $l_p$ самое привычное и удобное - это $l_2$.
Про бесконечномерные пространства читайте, например:
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, начиная с главы 2.

-- 22.03.2023, 13:47 --

granit201z в сообщении #1586295 писал(а):

из-за того, что там только комплексные координаты?

Нет; грубо говоря, из-за того, что расстояния между любыми точками в пространстве должны быть конечны (иначе с таким пространством непонятно как работать, расстояние - один из основных инструментов), а расстояние между точкой $(1,1,1,\ldots)$ (если бы она существовала) и началом координат в пространстве $l_2$ получается бесконечным - в общем, как в Вашем первом сообщении здесь.

В пространстве $l_\infty$ другая формула для расстояния, и там точка $(1,1,1,\ldots)$ существует и находится на расстоянии $1$ от начала координат.