2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 10:43 


12/03/17
686
Сидел себе представлял действительные числа (от $0$ до $1$) как векторы (направленные палки) бесконечномерного пространства с целочисленными координатами от $0$ до $9$. Т. е. каждое действительное число представляет собою радиус-вектор, указывающий в один из узлов в положительной гипер-четверти (или как ее назвать) этого пространства.
Ну и границей для рассматриваемых мною чисел в этом пространстве должен был стать вектор $(9; 9; 9;....) $. По сути это просто диагональ бесконечномерного куба со стороной $9$.
И вот я захотел понять, а какой же угол между этим вектором и любым из ребер этого куба (т. е. одним из ортов пространства). После некоторых раздумий пришел к выводу, что косинус этого угла должен быть:
$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+1+1+...}}=0$
Т.е. угол между диагональю и любым из ребер - прямой. А следовательно диагональ непредставима векторной суммой ребер, а следовательно и не лежит в пространстве той же размерности.
Что-то непонятное получается: С одной стороны диагональ задана как вектор определенного пространства, а с другой она не может быть вектором этого пространства

-- 22.03.2023, 10:51 --

И что еще интересно. При таком рассмотрении действительных чисел у них есть соседи. Их, конечно, бесконечно много, но между ними не находятся никакие другие действительные числа

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 11:12 
Заслуженный участник


20/08/14
11781
Россия, Москва
А что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

А понятие "соседи" будет зависеть от системы счисления (10 или 16 или 2 или 188), в которой записывается число, т.е. свойства отношений между числами оказываются присущи не самим числам, а их записи. Так может это и не числа (или не отношения) вовсе, а нечто другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 11:22 


12/03/17
686
Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):
А что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

не так сильно, потому что, например, прямые имеют также бесконечную длинну, но угловые отношения между ними такие же, как и у отрезков, принадлежащих этим прямым

-- 22.03.2023, 11:29 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):
Так может это и не числа (или не отношения) вовсе, а нечто другое?

может. числа это просто отправная точка, с которой я начал эту "геометрию" представлять. А окончательно запутался я уже не в числах, а в кубе с его диагональю

-- 22.03.2023, 11:34 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):
что длина такой диагонали $\sqrt{9^2+9^2+9^2+9^2+\ldots}=\infty$ Вас не смущает?

еще такой момент - когда я записал косинус как отношение катета к гипотенузе длинны посократились, поэтому меня это не так сильно и смутило

-- 22.03.2023, 11:37 --

Dmitriy40 в сообщении #1586270 писал(а):
А понятие "соседи" будет зависеть от системы счисления

собственно как и сам вектор (в смысле направленного отрезка)

-- 22.03.2023, 12:07 --

Ну и опять же, для всех конечномерных кубов с увеличением размерности косинус между диагональю и ребром стремится к нулю, а диагональ, соответственно к бесконечности. И это выглядит нормальным (диагональ все-равно не приобретает свойств дополнительного измерения) . А у бесконечномерного куба все ломается - имеем счетное множество измерений, но его не хватает, чтобы выразить эту диагональ.

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 12:24 


22/10/20
1194
granit201z в сообщении #1586265 писал(а):
Сидел себе представлял действительные числа (от $0$ до $1$) как векторы (направленные палки) бесконечномерного пространства с целочисленными координатами от $0$ до $9$.
А можете строго сформулировать, какое векторное пространство, над каким полем и кто базис?

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 12:50 


12/03/17
686
EminentVictorians в сообщении #1586283 писал(а):
можете строго сформулировать, какое векторное пространство, над каким полем и кто базис?

затрудняюсь. особенно с базисом
бесконечномерное пространство над полем действительных чисел с...

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 13:02 


22/10/20
1194
granit201z в сообщении #1586286 писал(а):
бесконечномерное пространство над полем действительных чисел
Такое пространство как минимум не изоморфно $\mathbb R$ (потому что $\mathbb R$ - это тоже векторное пространство над полем действительных чисел, но конечномерное).

По-моему, такого рода задачи должны начинаться со строгой постановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
granit201z в сообщении #1586265 писал(а):
бесконечномерного пространства
Бесконечномерные пространства бывают разные.
Есть гильбертово пространство $l_2$ - но в нём не любые наборы координат допустимы, и точки $(1,1,1,\ldots)$ просто вообще не существует. "Единичный куб" можно попробовать определить, но это будет неограниченное тело, не очень-то похожее на куб, и никакой главной диагонали у него просто не будет.

Есть пространство $l_\infty$, в котором точка $(1,1,1,\ldots)$ существует, а с нею и "диагональ единичного куба". Но в этом пространстве нельзя определить угол между двумя векторами (вообще не вводится такое понятие), а поэтому нельзя говорить и про косинус угла.
granit201z в сообщении #1586265 писал(а):
диагональ непредставима векторной суммой ребер, а следовательно и не лежит в пространстве той же размерности.
Что-то непонятное получается: С одной стороны диагональ задана как вектор определенного пространства, а с другой она не может быть вектором этого пространства
При рассмотрении бесконечномерных пространств "векторные суммы" приходится рассматривать двух видов: конечные и бесконечные (т.е. ряды). И по свойствам они сильно отличаются друг от друга. Впрочем, вектор $(1,1,1,\ldots)$ не представляется в виде хоть конечной, хоть бесконечной векторной суммы векторов, лежащих на рёбрах куба, даже и в пространстве $l_\infty$. То есть эти рёбра не образуют "систему координат" в пространстве $l_\infty$. (В $l_2$ они образуют "систему координат", но там нет точки $(1,1,1,\ldots)$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 13:34 


12/03/17
686
EminentVictorians в сообщении #1586288 писал(а):
По-моему, такого рода задачи должны начинаться со строгой постановки

Согласен. То-то, я смотрю, у меня постоянно какая-то дичь выходит

-- 22.03.2023, 13:35 --

Mikhail_K в сообщении #1586289 писал(а):
пространстве $l_\infty$.

а что означают индексы в этом обозначении?

-- 22.03.2023, 13:39 --

granit201z в сообщении #1586295 писал(а):
Есть гильбертово пространство $l_2$ - но в нём не любые наборы координат допустимы, и точки $(1,1,1,\ldots)$ просто вообще не существует

из-за того, что там только комплексные координаты?

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональ бесконечномерного куба - есть или нет
Сообщение22.03.2023, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
granit201z в сообщении #1586295 писал(а):
а что означают индексы в этом обозначении?
Они соответствуют разным формулам для расстояния между точками. Вообще, по-разному определять расстояния можно и в конечномерных пространствах - так получаются пространства $\mathbb{R}^n_p$, $p\in[1,+\infty]$; при $p=2$ это обычное $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb{R}^n$. Точно так же из пространств $l_p$ самое привычное и удобное - это $l_2$.
Про бесконечномерные пространства читайте, например:
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, начиная с главы 2.

-- 22.03.2023, 13:47 --

granit201z в сообщении #1586295 писал(а):
из-за того, что там только комплексные координаты?
Нет; грубо говоря, из-за того, что расстояния между любыми точками в пространстве должны быть конечны (иначе с таким пространством непонятно как работать, расстояние - один из основных инструментов), а расстояние между точкой $(1,1,1,\ldots)$ (если бы она существовала) и началом координат в пространстве $l_2$ получается бесконечным - в общем, как в Вашем первом сообщении здесь.

В пространстве $l_\infty$ другая формула для расстояния, и там точка $(1,1,1,\ldots)$ существует и находится на расстоянии $1$ от начала координат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group