Совпадение борелевских мер

[Padawan]

Интересная задача.
Пусть $\mu_1$, $\mu_2$ -- две положительные конечные борелевские меры на топологическом пространстве $X$ (борелевские -- значит любое борелевское множество измеримо). Доказать, что если $\mu_1(A) =\mu_2(A) $ для любого открытого множества $A\subset X$, то $\mu_1(A) =\mu_2(A) $ для любого борелевского множества $A\subset X$.

[Randomas]

А чем не подходит решение в лоб?
Множества, на которых меры совпадают, образуют $\sigma$-алгебру. Действительно, пусть $\{A_i|i\in\mathbb{N}\}$ - множества, для которых меры совпадают. Тогда их объединение можно записать как $\cup_i (A_i\setminus \cup_{j<i}A_j)$. Это объединение непересекающихся множеств. Для каждого из них меры одинаковы. Значит, одинаковы и для объединения. С пересечением аналогично. Замкнутость относительно дополнений получаем из конечности мер (и того, что всё пространство открыто). Все открытые в эту $\sigma$-алгебру входят. Значит, она содержит борелевскую.

[Padawan]

Randomas в сообщении #1617828 писал(а):

Для каждого из них меры одинаковы.

Откуда это следует?

[mihaild]

Padawan в сообщении #1617836 писал(а):

Откуда это следует?

Так мы доказываем, что множества, для которых меры совпадают, образуют сигма-алгебру. Для этого надо показать, что семейство множеств, меры которых совпадают, замкнуто относительно счетного объединения. Т.е. если взять последовательность множеств, меры которых совпадают, то и у объединения меры совпадают.
Для пересечения понадобится конечность меры, потому что для бесконечных мер бывает, что меры каждого множества в пересечении совпадают, а меры пересечения нет.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1617871 писал(а):

Т.е. если взять последовательность множеств, меры которых совпадают, то и у объединения меры совпадают.

Для дизьюнктной последовательности множеств вопросов нет, а для произвольной? Давайте для двух множеств. Почему из $\mu_1(A) =\mu_2(A)$, $\mu_1(B) =\mu_2(B)$ следует $\mu_1(A\cup B) =\mu_2(A\cup B)$?

[mihaild]

Да, что-то я затупил. Тут явно важно, что исходное семейство множеств было не произвольным генерирующим нашу сигма-алгебру. Потому что на множестве $\{a, b, c\}$ полная сигма-алгебра генерируется семейством $\{\{a, b\}, \{a, c\}\}$, но знание их мер не позволяет однозначно продолжить меры на все: меры $\mu(\{a\}) = 1$, $\mu(\{b\}) = \mu(\{c\}) = 0$ и $\nu(\{a\}) = 0$, $\nu(\{b\}) = \nu(\{c\}) = 1$ на порождающем семействе совпадают.

[Padawan]

Для совпадения мер исходное семейство множеств должно быть замкнуто относительно конечных пересечений.

[Mirage_Pick]

Padawan в сообщении #1617903 писал(а):

Для совпадения мер исходное семейство множеств должно быть замкнуто относительно конечных пересечений.

Стоит упомянуть, что это необходимое, но не достаточное условие. См. красивый контрпример (к достаточности) в Two measures that agree on a $\pi$-system but not equal on the generated $\sigma$-algebra.

-- 15.11.2023, 13:40 --

При этом в Wiki-странице "Pi-system" записали, что это необходимое и достаточное условие

[Padawan]

Mirage_Pick
Если меры конечны, то такого не может быть.

[mihaild]

Mirage_Pick в сообщении #1618024 писал(а):

См. красивый контрпример (к достаточности) в Two measures that agree on a $\pi$-system but not equal on the generated $\sigma$-algebra

Там плохой пример, получается, что порожденная $\pi$-системой $\sigma$-алгебра зависит не только от системы, но и от исходного пространства. Поскольку на меру части, не попавшие в систему, влияют, а на саму систему - нет, то неединственность очевидна, даже для конечных мер.
Тут ИМХО надо сказать, что порожденная $\pi$-системой $\sigma$-алгебра имеет в качестве носителя объединение всех множеств $\pi$-системы.

Padawan в сообщении #1617903 писал(а):

Для совпадения мер исходное семейство множеств должно быть замкнуто относительно конечных пересечений.

Но доказать, что семейство множеств, на которых меры совпадают, образуют $\sigma$-алгебру, всё равно не получится.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1618052 писал(а):

Поскольку на меру части, не попавшие в систему, влияют, а на саму систему - нет, то неединственность очевидна, даже для конечных мер.

Для конечных мер продолжение с $\pi$-системы на порожденную ей $\sigma$-алгебру единственно. Да, при условии, что на всем пространстве меры совпадают.

-- Ср ноя 15, 2023 23:30:43 --

mihaild в сообщении #1618052 писал(а):

порожденная $\pi$-системой $\sigma$-алгебра зависит не только от системы, но и от исходного пространства.

Конечно, зависит. С каждым $A$ порождённая $\sigma$-алгебра содержит $X\setminus A$.