формулы Френе и кривизна

[Ascold]

Пусть есть плоская кривая с касательным вектором $\bold{t}$ и нормалью $\bold{n}$, а $s$ - её длина от какой-то точки - естественный параметр. Как, не вводя системы координат, из формул

$$d\bold{t}/ds=k\bold{n}$$

и

$$d\bold{n}/ds=-k\bold{t}$$

получить, что при постоянном $k$ кривая - окружность? Я продифференцировал оба уравнения ещё раз, подставил, получил $d^2\bold{t}/ds^2+k^2\bold{t}=0$ и $d^2\bold{n}/ds^2+k^2\bold{n}=0$, отсюда следует, что $\bold{t}=\bold{A}\cos(ks)+\bold{B}\sin(ks)$, $\bold{n}=\bold{C}\cos(ks)+\bold{D}\sin(ks)$ и что с этим или не с этим дальше делать?

[Slav-27]

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):

$$d\bold{t}/ds=k\bold{n}$$

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, поэтому кривая однозначно восстанавливается по начальной точке, начальной скорости и скалярной кривизне как функции натурального параметра. Поэтому достаточно доказать, что кривизна окружности постоянна.

[svv]

Пусть $\mathbf r(s)$ — радиус-вектор точки на кривой.
Точка $\mathbf c=\mathbf r+\frac 1 k\mathbf n$ неподвижна:
$\frac {d\mathbf c}{ds}=\frac {d\mathbf r}{ds}+\frac 1 k\frac {d\mathbf n}{ds}=\mathbf t+\frac 1 k(-k\mathbf t)=0$
Более того, $\mathbf c$ — центр окружности радиуса $R=\frac 1 k$, потому что любая точка $\mathbf r(s)$ нашей кривой находится от него на расстоянии
$|\mathbf r-\mathbf c|=\frac 1 k =R$

[EUgeneUS]

Ascold
Вообще-то вот это:

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):

.... плоская кривая

следует из вот этого:

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):

$$d\bold{n}/ds=-k\bold{t}$$

Что-то из этих двух условий лишнее, избыточно.

[EUgeneUS]

Ascold
Кстати, Ваше решение вполне можно продолжить до конца.

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):

отсюда следует, что $\bold{t}=\bold{A}\cos(ks)+\bold{B}\sin(ks)$

1. $\bold{t}$ - это орт в трехграннике Френе, а значит $|\bold{t}| \equiv 1$. Тогда, что можно сказать о векторах $\bold{A}, \bold{B}$?

2. После этого можно ещё раз проинтегрировать по $s$ и получить выражение для $\bold{r}$. После чего можно будет убедиться, что это окружность.

[Ascold]

svv в сообщении #1585462 писал(а):

Точка $\mathbf c=\mathbf r+\frac 1 k\mathbf n$ неподвижна

простой ход, но я не догадался.

EUgeneUS в сообщении #1585483 писал(а):

Ascold
Кстати, Ваше решение вполне можно продолжить до конца.
1. $\bold{t}$ - это орт в трехграннике Френе, а значит $|\bold{t}| \equiv 1$. Тогда, что можно сказать о векторах $\bold{A}, \bold{B}$?
2. После этого можно ещё раз проинтегрировать по $s$ и получить выражение для $\bold{r}$. После чего можно будет убедиться, что это окружность.

Из (1) следует, что $\bold{A}^2 +\bold{B}^2=1$. Ну и интегрируя, получаем опять-таки $|\bold{r}-\bold{C}|=1/k.$

[EUgeneUS]

Ascold в сообщении #1585542 писал(а):

Из (1) следует, что $\bold{A}^2 +\bold{B}^2=1$.

Этого мало, чтобы перейти к этому:
Это просто неверно.

Ascold в сообщении #1585542 писал(а):

Ну и интегрируя, получаем опять-таки $|\bold{r}-\bold{C}|=1/k.$

Вообще говоря, можем и эллипс получить, не только окружность, с таким ограничением.

Хинт:
1. Рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где синус равен нулю.
2. Потом рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где косинус равен нулю.
3. Потом рассмотрите полное выражение для $t^2$.

[Ascold]

EUgeneUS в сообщении #1585549 писал(а):

1. Рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где синус равен нулю.
2. Потом рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где косинус равен нулю.
3. Потом рассмотрите полное выражение для $t^2$.

$|\bold{A}|=|\bold{B}|=1, \ \bold{A}\perp\bold{B}.$ И потом проинтегрировать - вроде, получается, что надо.

[EUgeneUS]

Ascold
Да.
Кстати, отсюда же следует, что кривая находится в плоскости, которая проходит через точку $\bold{C}$, и в которой лежат векторы $\bold{А}$ и $\bold{В}$.

Уважаемый svv пользовался условием, что кривая плоская. А мы это получили бонусом.

-- 18.03.2023, 09:12 --

UPD: кстати, если кручение равно нулю, то кривая - плоская. Понятно, это верно для "хороших" кривых.
А в этом случае, кручение равно нулю, что следует из второго уравнения в стартовом посте.