2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 формулы Френе и кривизна
Сообщение14.03.2023, 23:45 


28/08/13
521
Пусть есть плоская кривая с касательным вектором $\bold{t}$ и нормалью $\bold{n}$, а $s$ - её длина от какой-то точки - естественный параметр. Как, не вводя системы координат, из формул $$d\bold{t}/ds=k\bold{n}$$ и $$d\bold{n}/ds=-k\bold{t}$$ получить, что при постоянном $k$ кривая - окружность? Я продифференцировал оба уравнения ещё раз, подставил, получил $d^2\bold{t}/ds^2+k^2\bold{t}=0$ и $d^2\bold{n}/ds^2+k^2\bold{n}=0$, отсюда следует, что $\bold{t}=\bold{A}\cos(ks)+\bold{B}\sin(ks)$, $\bold{n}=\bold{C}\cos(ks)+\bold{D}\sin(ks)$ и что с этим или не с этим дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 01:14 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Ascold в сообщении #1585451 писал(а):
$$d\bold{t}/ds=k\bold{n}$$
Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, поэтому кривая однозначно восстанавливается по начальной точке, начальной скорости и скалярной кривизне как функции натурального параметра. Поэтому достаточно доказать, что кривизна окружности постоянна.

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 01:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Пусть $\mathbf r(s)$ — радиус-вектор точки на кривой.
Точка $\mathbf c=\mathbf r+\frac 1 k\mathbf n$ неподвижна:
$\frac {d\mathbf c}{ds}=\frac {d\mathbf r}{ds}+\frac 1 k\frac {d\mathbf n}{ds}=\mathbf t+\frac 1 k(-k\mathbf t)=0$
Более того, $\mathbf c$ — центр окружности радиуса $R=\frac 1 k$, потому что любая точка $\mathbf r(s)$ нашей кривой находится от него на расстоянии
$|\mathbf r-\mathbf c|=\frac 1 k =R$

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 10:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Ascold
Вообще-то вот это:

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):
.... плоская кривая

следует из вот этого:
Ascold в сообщении #1585451 писал(а):
$$d\bold{n}/ds=-k\bold{t}$$


Что-то из этих двух условий лишнее, избыточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 11:29 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Ascold
Кстати, Ваше решение вполне можно продолжить до конца.

Ascold в сообщении #1585451 писал(а):
отсюда следует, что $\bold{t}=\bold{A}\cos(ks)+\bold{B}\sin(ks)$


1. $\bold{t}$ - это орт в трехграннике Френе, а значит $|\bold{t}| \equiv 1$. Тогда, что можно сказать о векторах $\bold{A}, \bold{B}$?

2. После этого можно ещё раз проинтегрировать по $s$ и получить выражение для $\bold{r}$. После чего можно будет убедиться, что это окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 19:48 


28/08/13
521
svv в сообщении #1585462 писал(а):
Точка $\mathbf c=\mathbf r+\frac 1 k\mathbf n$ неподвижна

простой ход, но я не догадался.
EUgeneUS в сообщении #1585483 писал(а):
Ascold
Кстати, Ваше решение вполне можно продолжить до конца.
1. $\bold{t}$ - это орт в трехграннике Френе, а значит $|\bold{t}| \equiv 1$. Тогда, что можно сказать о векторах $\bold{A}, \bold{B}$?
2. После этого можно ещё раз проинтегрировать по $s$ и получить выражение для $\bold{r}$. После чего можно будет убедиться, что это окружность.

Из (1) следует, что $\bold{A}^2 +\bold{B}^2=1$. Ну и интегрируя, получаем опять-таки $|\bold{r}-\bold{C}|=1/k.$

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение15.03.2023, 20:17 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Ascold в сообщении #1585542 писал(а):
Из (1) следует, что $\bold{A}^2 +\bold{B}^2=1$.

Этого мало, чтобы перейти к этому:
Это просто неверно.
Ascold в сообщении #1585542 писал(а):
Ну и интегрируя, получаем опять-таки $|\bold{r}-\bold{C}|=1/k.$


Вообще говоря, можем и эллипс получить, не только окружность, с таким ограничением.

Хинт:
1. Рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где синус равен нулю.
2. Потом рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где косинус равен нулю.
3. Потом рассмотрите полное выражение для $t^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение17.03.2023, 22:17 


28/08/13
521
EUgeneUS в сообщении #1585549 писал(а):
1. Рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где синус равен нулю.
2. Потом рассмотрите $|\bold{t}|$ в точках, где косинус равен нулю.
3. Потом рассмотрите полное выражение для $t^2$.

$|\bold{A}|=|\bold{B}|=1, \ \bold{A}\perp\bold{B}.$ И потом проинтегрировать - вроде, получается, что надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: формулы Френе и кривизна
Сообщение18.03.2023, 08:59 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Ascold
Да.
Кстати, отсюда же следует, что кривая находится в плоскости, которая проходит через точку $\bold{C}$, и в которой лежат векторы $\bold{А}$ и $\bold{В}$.

Уважаемый svv пользовался условием, что кривая плоская. А мы это получили бонусом.

-- 18.03.2023, 09:12 --

UPD: кстати, если кручение равно нулю, то кривая - плоская. Понятно, это верно для "хороших" кривых.
А в этом случае, кручение равно нулю, что следует из второго уравнения в стартовом посте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group