0.1010001000001... - иррациональное ли?

[ilghiz]

Добрый день,

решил спросить здесь, так как формулировка задачи больше на олимпиадную похожа.

Пусть у нас есть число вида $a=0.1010001000001...$ в любой системе исчисления по основанию $p$,

$$a = \sum_{i=1}^{\infty} p^{-i^2+i-1}.$$

Сильно туплю и не могу придумать как доказать или опровергнуть тот факт, что это число иррационально.

Тыкните, пожалуйста, в каком направлении думать, в квадрат пытался возводить, что-то аналогичное - тоже, но вроде не дает ничего хорошего.

Спасибо!

[svv]

Вики, статья Рациональное число, пункт Дополнительные свойства:

Цитата:

В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.

Периодическая дробь — это такая, у которой цифры повторяются, начиная с некоторого места, не обязательно начиная с точки/запятой.

[ilghiz]

А разве тут есть какой-то период? Вроде нету тут его, ведь степень-то у индекса квадратичная.

[svv]

Верно, и потому число иррациональное.
Критерий — это необходимое и достаточное условие.

[ilghiz]

А, то есть наличие периода - необходимое и достаточное условие рациональности, а, все, тогда да, тупил... Тогда ясно, спасибо!!!

[пианист]

Мало того, оно еще и трасцендентное. По теореме Лиувилля.

[пианист]

пианист в сообщении #1583671 писал(а):

Мало того, оно еще и трасцендентное. По теореме Лиувилля.

Сори, ерунду сказал.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе. В олимпиадном разделе ТС задаёт форумчанам задачи, решение которых ему известно.