"Алгебраическое" дифференциальное исчисление

[EminentVictorians]

Я бы хотел посмотреть на дифференциальное исчисление без предельного перехода. Помню, что где-то уже видел такую формализацию, но в целом, несмотря на то, что точный источник я не помню, более-менее и так очевидно, что такая формализация возможна. Помню, что речь шла о том, что производная - это просто отношение бесконечно малых. А бесконечно малые - это нильпотенты какого-то факторкольца кольца многочленов. Могу еще добавить, что это точно не нестандартный анализ. Если кто-нибудь догадался, о чем я, просьба сообщить источник для чтения, и еще было бы интересно узнать, насколько далеко такая формализация продвинулась по сравнению со стандартной.

[пианист]

Капланский, Введение в дифференциальную алгебру - не оно?

[svv]

Джет Неструев (псевдоним группы математиков), «Гладкие многообразия и наблюдаемые», глава 9 «Дифференциальное исчисление как аспект коммутативной алгебры». Книга революционная нестандартная. Для начала прочитайте хотя бы главу 1, чтобы увидеть, для Вас это писалось или нет.

[Padawan]

Посмотрите в Википедии статью Кэлеров дифференциал, там есть ссылка на учебник Хартсхорна по алгебраической геометрии. Возможно, это то, что Вы ищите.

[EminentVictorians]

Спасибо! Все ответы максимально релевантны!

Из введения к книге Джета Неструева:

Цитата:

Старое доброе дифференциальное исчисление является на самом деле частным случаем гораздо более общей конструкции, которую можно назвать дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами, или просто дифференциальным исчислением. [...] Основная цель этой книги и состоит в том, чтобы дать подробное объяснение, почему дифференциальное исчисление является аспектом коммутативной алгебры.

Блин, ну кайф же!

И самое приятное, что все ответы более менее об одном и том же. Книжка Капланского (по крайней мере начало) - суть тот же самый экскурс в коммутативную алгебру.

И кэлеровы дифференциалы об этом же:

Википедия писал(а):

Кэлеровы дифференциалы представляют собой адаптацию дифференциальных форм для произвольных коммутативных колец или схем.

Жаль, что я коммутативную алгебру толком не учил. Можно было бы хоть сейчас эти книги атаковать. (Впрочем, то, что настанет ее время - мне было давно ясно)

А еще и категорный язык используется. Мне сегодня точно подфартило

[krum]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1582484 писал(а):

Старое доброе дифференциальное исчисление является на самом деле частным случаем гораздо более общей конструкции, которую можно назвать дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами,

Еще и "на самом деле". Очевидно, власти скрывали. Конечно является. В том же смысле, в каком доброе старое $\mathbb{R}$ является частным случаем понятия "многообразие": являться-то оно является, только без $\mathbb{R}$ и многообразий никаких не будет.
Этот Джет Неструев, конечно, все прекрасно понимает, но тут уж звериные законы рынка, что поделать, пиар так пиар, реклама так реклама. Собственно, и кричащее самоназвание под Бурбаков оттуда же. Однако, есть и такой закон рынка: качество целевой аудитории всегда соответствует качеству рекламы.

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1582515 писал(а):

В том же смысле, в каком доброе старое $\mathbb{R}$ является частным случаем понятия "многообразие": являться-то оно является, только без $\mathbb{R}$ и многообразий никаких не будет.

Вроде бы есть инвариантное определение (без $\mathbb R$). Но надо искать, я на память не смогу воспроизвести.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1582527 писал(а):

Вроде бы есть инвариантное определение (без $\mathbb R$)

А многообразие локально, извините, устроено как... что?

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1582530 писал(а):

А многообразие локально, извините, устроено как... что?

Как $\mathbb R^n$. Но это не отрицает возможность определить многообразие без явного упоминания $\mathbb R$. Ну это примерно как: "$\mathbb Q$ же является подполем $\mathbb R$ - значит нельзя определить $\mathbb R$ без $\mathbb Q$". Но нет, это неверная логика. $\mathbb R$ без $\mathbb Q$ определить можно. И точно так же многообразие можно однозначно восстановить как-то по то ли алгебре гладких функций на нем, то ли по каким-то там пучкам ростков. И вокруг этого выстроить инвариантное определение. Это вроде как алгебраическая геометрия. Я ее не изучал, поэтому наверняка ничего утверждать не буду. Просто хотел сказать, что Ваш аргумент не отрицает возможность инвариантного определения многообразия.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1582531 писал(а):

И точно так же многообразие можно однозначно восстановить как-то по то ли алгебре гладких функций на нем, то ли по каким-то там пучкам ростков. И вокруг этого выстроить инвариантное определение. Это вроде как алгебраическая геометрия.

Нет, алгебраическая геометрия это дисциплина, занимающаяся алгебраическими, т.е. заданными многочленами, кривыми, поверхностями etc. Вот, например, задача о расположении овалов алгебраической кривой произвольного порядка, решенная И.Г.Петровским, это алгебраическая геометрия. А то, о чем Вы говорите, это одна из используемых в математике техник.

[krum]

пианист
а где можно посмотреть, как гладкое многообразие определяется без использования $\mathbb{R}$ прямого или косвенного?

[пианист]

krum
К сожалению, не смогу Вам помочь. Мне такие конструкции не встречались.

[mihaild]

Стало любопытно, немного погуглил. Нашел статью http://www.ams.org/jourcgi/jour-getitem ... -0205240-6, в которой даётся топологическое описание $n$-сферы. Дальше в определении многообразия вместо $\mathbb R^n$ брать окрестности из сферы.
Но это скорее построение $\mathbb R^n$ без $\mathbb R$, чем многообразия без $\mathbb R^n$.

[vpb]

А у меня вот к участнику EminentVictorians два вопроса.

1) В теме Соотношение матанализа и дифференциальной геометрии вам была задана сравнительно простая задача, на которую вы дали неправильный ответ, причем не просто неправильный, а нелепый. И вдобавок еще там грубить стали. В связи с этим интересует, разобрались ли вы уже с той задачей ? Если разобрались, приведите свое решение.

(Предполагаю, что таки решили, но допускаю возможность, что и нет.)

Обращаю внимание, что этот вопрос был задан "простым" участником krum, и поддержан двумя заслуженными (vpb и Padavan).

2) То, что вы пишете на форуме, вовсе не так уж безобидно. У многих участников помоложе и не вполне уверенных в себе оно может, совершенно без оснований, подорвать веру в себя, и побудить думать о вещах, которые им на самом деле совершенно не нужны. В связи с этим, возникает вопрос, а кто автор ? Насколько всерьез следует воспринимать его тексты ? Вам уже был задан вопрос (который вы проигнорировали), каково ваше образование. Прошу ответить, кто вы: школьник, студент, бакалавр, магистр, специалист, или вдруг имеете ученую степень. Если студент, то на каком курсе ? А также, какой профиль (математик, физик, химико-биологические науки, прочее) ? Само учебное заведение можете не сообщать.

[Ende]

vpb в сообщении #1582762 писал(а):

Обращаю внимание, что этот вопрос был задан "простым" участником krum, и поддержан двумя заслуженными (vpb и Padavan).

Требование, чтобы ТС отвечал на вопросы заслуженных участников, распространяется только на случаи, когда ТС отстаивает собственные теории (физические, математические и т.д., но не педагогические или методические). То есть, если бы ТС пытался опровергнуть диагональное построение Кантора, это требование было бы применимо. А если он лишь отстаивает свой взгляд на то, в как лучше изучать математику, оно не применимо, и ТС имеет право не отвечать.

Тем не менее, EminentVictorians, никто не будет возражать, если Вы ответите на поставленные вопросы (это не требование).