2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 17:35 
Доброго дня, уважаемые любители математики и профессионалы.
Вопрос собственно в заголовке темы. Гугл, увы, мне не помог. Самая минимальная разница это 2^4-3^3=5 и чем степени возрастают, тем больше разность(соответственно берём ближайшие друг к другу результат возведения в степень). Есть ли доказательство у этого утверждения или встречаются исключения, где разность получается на порядок(-ки) меньше предыдущего вычисления?

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 17:57 
То есть, я правильно понимаю, что решить нужно в цельіх положительньіх числах?

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 18:09 
WinterPrimat в сообщении #1581869 писал(а):
То есть, я правильно понимаю, что решить нужно в цельіх положительньіх числах?


Да, разность должна быть положительная.

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 18:24 
У Вас в примере ошибка, должно быть $2^5$.
Минимальная же разница не 5, а 1: $2^2-3^1=1$.
С ростом $k$ разница до ближайшей большей степени двойки растёт, но не монотонно, бывает что некоторая следующая меньше предыдущей.
Бывает и на порядок ($k=41$ меньше чем $k=40$ почти в 15 раз), и на два порядка ($k=306$ в 163 раза), и на три порядка ($k=13606$ почти в 1118 раз), и на четыре порядка ($k=47468$ почти в 15250 раз), и на шесть порядков ($k=190537$ в 2583679.2 раз).

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 18:46 
Аватара пользователя
Да. Растет, но не строго. Пиковые значения $\dfrac{k}{n} \approx \log_2 3 \approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{8}{5},\dfrac{19}{12},\dfrac{65}{41},\dfrac{84}{53},\dfrac{485}{306},\dfrac{1054}{665},...$

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 19:32 
Благодарю.
Большущее всем спасибо за помощь!!!

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 19:41 
Этот вопрос хорошо изучен. Например, доказано, что $$
\left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9},
$$
Более подробно в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 20:12 
mathematician123 в сообщении #1581903 писал(а):
Этот вопрос хорошо изучен. Например, доказано, что $$
\left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9},
$$
Более подробно в этом сообщении.


То что надо!!!! Спасибо!

 
 
 
 Re: Возрастает ли разность 2^n-3^k
Сообщение16.02.2023, 21:13 
 !  Alex777lex
Формулы нужно записывать с помощью $\TeX$. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group