Гипотеза Коллатца

[Martynov_M]

Гипотеза Коллатца
Это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки:
- Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, разделим его на 2, а если нечетное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, - так гласит гипотеза. И надо это доказать.

Давайте посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца (3n+1):

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
5, 16, 8, 4, 2, 1
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Таблица нечетных чисел



Обратим внимание, что первая строка таблицы - это ни что иное, как последовательность A002450: 1, 5, 21, 85, 341, 1365...
Справочник OEIS предлагает нам следующую формулу: $ a(m+1) = 4 \cdot a(m) + 1. $

Связь таблицы с гипотезой
Шаг назад в гипотезе Коллатца выглядит следующим образом, пусть n – нечетное число, тогда:
- Чтобы получить предыдущее мы должны умножить n*2.
- Предположим, перед 2n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 2n $
- Получаем $ x = \frac {2n-1} {3}$.
- Результат $ \frac {2n} {3} - \frac 1 3 $ будет целым только в том случае, если $ n \equiv 2 \pmod 3 $.

Тогда для $ n \equiv 1 \pmod 3 $ удвоим количество четных чисел:
- Умножаем n на 2, и снова на 2.
- Предположим, перед 4n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 4n $
- Получаем $ x = \frac {4n-1} {3}$.
- Результат $ \frac {4n} {3} - \frac 1 3 $ всегда будет целый для $ n \equiv 1 \pmod 3 $.

Таким образом мы установили зависимость одного нечетного числа от другого.

Итак, в таблице:
a(1) - это шаг назад,
b(n) - это нечетное число,
x - нечетное число для случая $ b(n) = 4x+1. $
a(m) - последовательность чисел, привязанная к b(n).

Правило 1/3 (одна треть)
Рассмотрим формулы $ (\frac {2n} {3} - \frac 1 3) $ и $ (\frac {4n} {3} - \frac 1 3) $ с другого ракурса.
Не будем обращать внимание на $ \frac {1} {3}$, как пренебрежительно малое число, и сосредоточимся только на $ \frac {2n} {3}$ и $ \frac {4n} {3}$. Это ни что иное, как уменьшение/увеличение числа n на $ \frac {1} {3}$. Такое уменьшение/увеличение будем называть "правилом 1/3".

Примечание
Конечно, "правило 1/3" - это просто шаг назад в гипотезе Коллатца, и оно дано нам по условию самой задачи. Но именно такое название передает всю суть гипотезы – многократное увеличение/уменьшение числа n на 1/3, пока оно не скатится до единицы.

Вопрос. Можно ли по этой таблице спуститься к 1?
Да, можно. Это не просто таблица, это матрица спуска к единице. Спуск выглядит следующим образом:



На рисунке выше для чисел 3, 9, 15, 21 мы изобразили только 1 переход. Это связано с тем, что эти числа особенные, они делятся на 3. В конце статьи мы расскажем про них более подробно.

Особая связь (4n + 1)
Давайте посмотрим на последовательности для 7 и 29.



Чтобы подняться из числа 11 на шаг наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=2n, где \ n = 11. $
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 8n:

$ 3x+1=2n , \ n = \frac {3x+1} {2} $

$ 3y+1=8n , \ n = \frac {3y+1} {8} $

$ \frac {3x+1} {2} = \frac {3y+1} {8} $

$ y = 4x+1 $

Да, всё сходится: $ n = 11, \ x = 7, \ y = 29 \ (4x+1). $
Но давайте возьмем другой пример:



Чтобы подняться из числа 7 на два шага наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=4n, \ где n = 7. $
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 16n:

$ 3x+1=4n , \ n = \frac {3x+1} {4} $

$ 3y+1=16n , \ n = \frac {3y+1} {16} $

$ \frac {3x+1} {4} = \frac {3y+1} {16} $

$ y = 4x+1 $

Да, всё верно: $ n = 7, \ x = 9, \ y = 37 \ (4x+1). $

Заметьте, мы специально взяли два примера, которые дают нам разный остаток от деления на три, но получили одну и ту же зависимость.
Сформулируем её так:
- Если число n связано с другим числом x по правилу 1/3, то число n также будет связано с его производным y по правилу $ y = 4x+1. $
Другими словами, нечетные числа x и y спускаются к единице по той же последовательности, что и число n.

Если взять наш пример, то мы увидим:
37, 112, 56, 28… - это всего лишь производная ветка от 9, 28...
29, 88, 44, 22… - это всего лишь производная ветка от 7, 22...
Расстояние между 9 и 37 два чётных числа. Расстояние между 7 и 29 тоже два чётных числа.

Таким образом, мы установили, что для правила 4n+1 нечетные числа отделены друг от друга двумя чётными. Как нам уже известно, в правиле 1/3 расстояние между нечетными тоже не более двух чётных (2n, 4n).
Никаких других закономерностей мы не нашли. И забегая вперед, скажем, что их нет.

Всё вышесказанное означает:
- Любые два подряд идущих чётных числа в последовательности Коллатца всегда ассоциируются с каким-то конкретным нечетным числом. Т.е. чётные числа не являются самостоятельными сущностями, они лишь побочный фактор переходов между нечетными.

Из этого следует:
- Если в последовательности Коллатца встречается более двух подряд идущих чётных чисел, то их можно разложить на комбинацию нечетных. При этом спуск до единицы не изменится (см. рисунок).



С учетом того, что никаких правил кроме 1/3 и 4n+1 в гипотезе Коллатца не существует, повторимся, это означает, что все чётные числа - это порождение формул 1/3 и 4n+1.

Таким образом, главный наш вывод:
- Мы можем убрать все чётные числа в последовательностях Коллатца, и оперировать только лишь правилами 1/3 и 4n+1.
- Любая последовательность Коллатца – это всего лишь последовательность нечетных чисел, следующих друг за другом по правилам 1/3 и 4n+1.

Лучший пример - число 27
Давайте сформируем настоящую (истинную) последовательность для 27, используя только лишь правила 1/3 и 4n+1:

27 -> 41 -> 31 -> 47 -> 71 -> 107 -> 161 -> 121 -> 91 -> 137 -> 103 -> 155 -> 233 -> 175 -> 263 -> 395 -> 593 -> 445 -> 111 -> 167 -> 251 -> 377 -> 283 -> 425 -> 319 -> 479 -> 719 -> 1079 -> 1619 -> 2429 -> 607 -> 911 -> 1367 -> 2051 -> 3077 -> 769 -> 577 -> 433 -> 325 -> 81 -> 61 -> 15 -> 23 -> 35 -> 53 -> 13 -> 3 -> 5 -> 1.

Для чисел 3077, 2429, 445, 325, 61, 53, 13, 5 - мы воспользовались правилом (4n+1), в остальных случаях 1/3.
Невероятно! Мы получили точно такую же последовательность спуска к единице, но все чётные исчезли.

Окончательный вывод
Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами.

Постулат №2. Любое нечетное число привязано к двум другим нечетным числам на расстоянии 1/3, либо по формуле (4n+1).

Постулат №3. Нечетное число не может бесконечно возрастать на 1/3, потому что оно ограничено самим правилом 1/3. Применение правила 1/3 несколько раз подряд всегда дает разный остаток от деления на 3. Другими словами, нет такого числа, которое бы бесконечно возрастало на 1/3 по правилу 1/3.

Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз:



Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства).

Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Особый ряд чисел
Но, как мы и обещали, в конце статьи мы расскажем вам про особый ряд чисел.
Для чисел кратных трем существует только лишь одна связь с другим нечетным числом, и эта связь однонаправленная:

3 -> 5
9 -> 7
15 -> 23
21 -> 5 (4n+1)
27 -> 41
33 -> 25
39 -> 59
45 -> 11 (4n+1)
51 -> 77
57 -> 43
63 -> 95
69 -> 17 (4n+1)

Здесь прослеживается аналогия с чётными числами. Поэтому сделаем вывод:
- Множество натуральных чисел от 1 до N (с точки зрения гипотезы Коллатца) можно разделить на фальшивые и истинные числа. Фальшивыми мы будем называть те числа, которые имеют только одну связь с нечетным числом. Например, все чётные числа - это фальшивые, потому что они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Числа кратные трем тоже фальшивые, они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Такого рода числа не меняют сути доказательства. Спуск к единице для фальшивых чисел аналогичен спуску к единице для истинного числа. Наше доказательство учитывает все истинные числа.
Т.о. гипотеза Коллатца верна. Что и требовалось доказать.

Матрица спуска

Мы проверили матрицу спуска для чисел от 1 до 1000000000 на компьютере. Все числа гарантированно спускаются к единице по заданным в матрице правилам (1/3 и 4n+1).
Каких-либо других правил, связывающих нечетные числа, мы не обнаружили.

[vitaliidemid]

Martynov_M
Круто, но можно было просто на компьютере проверить гипотезу Коллатца для чисел от 1 до 1000000000, я так эту гипотезу уже давно доказал, так что опоздали вы

[Aritaborian]

vitaliidemid, не желаете поделиться доказательством с общественностью?

[Ende]

Martynov_M
Даже самые простые формулы должны быть оформлены с помощью $\TeX$: не "n = 7", а $n = 7$. На первый раз в Карантин не понесу, в следующий раз - обязательно.

[Утундрий]

Martynov_M
В некоторых местах Вашего Magnum Opus я обнаружил попытки посчитать прообраз отображения Коллатца. Вам это удалось? Если да, то приведите, пожалуйста, результат.

[vitaliidemid]

Aritaborian
Нет, я доказал гипотезу, но быть посмешищем не хочу, поэтому доказательства публиковать не буду

[Martynov_M]

Утундрий,
Такой задачи не ставил. Но вы правы. Экспериментально я проверил это на компьютере. Прогнал все последовательности Коллатца от 1 до 1000000000 с условием, что каждому нечетному числу соответствует комбинация:
- два чётных (2n, 4n) для правила 4n+1.
- два чётных (2n, 4n) для правила 1/3, где $ n \equiv 1 \pmod 3 $.
- одно чётное (2n) для правила 1/3, где $ n \equiv 2 \pmod 3 $.

Компьютер сказал, что, да, это так. Других соответствий нет.

[mathforum1]

Martynov_M в сообщении #1581862 писал(а):

Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами.

Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы, конечно, можем вычислить следующее нечетное число (3n+1), но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Martynov_M в сообщении #1581862 писал(а):

Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Нет. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.

[Martynov_M]

mathforum1 в сообщении #1582249 писал(а):

Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы, конечно, можем вычислить следующее нечетное число (3n+1), но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Можем. Я публиковал статью на эту тему. Гипотеза Коллатца – это частный случай движения от N до 1. Более полный вариант, безусловно, вы правы, – это движение в сторону от 1 до N (со всеми возможными ответвлениями):

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=77286

mathforum1 в сообщении #1582249 писал(а):

Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.

Это происходит из-за того, что все нечетные числа рекурсивно связаны между собой (см. матрицу спуска), каждое число цепляет другое, и т.д., таким образом все числа цепляют друг друга. Хоть что выбирай, а спуск до единицы уже предрешен.

В упомянутой статье, я как раз пишу об этом:
- Все числа рождаются из единицы, и поэтому их спуск до единицы уже предрешен. Мы можем двигаться как от 1 до N, так и от N до 1. Это не имеет значения.

Вот посмотрите, как происходит рождение первых чисел из единицы:

1, 2, 4, 8, 16, 5
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 9
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19, 38, 76, 25
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 53, 106, 35, 70, 23, 46, 15

Обратите внимание, это обычная последовательность Коллатца, только она развернута в обратном направлении и учитывает все числа, все ветки и все ответвления.

И тут дилемма... Что появилось раньше: курица или яйцо? Это единица рождает все наши числа, или это все числа спускаются к 1?
Неожиданно, да? :)

Но если мы с вами дошли до такого, значит, мы уже доказали гипотезу. Потому что такая постановка вопроса означает, что мы понимаем, с чем имеем дело.

Да, да, да. Вот именно. Это рекурсивная связь всех чисел со всеми. И матрица спуска это прекрасно демонстрирует. Какое бы число n вы не взяли, оно уже зацепилось за матрицу (за рекурсию) и спуск до единицы предрешен.

Почему? Почему? Почему? – снова предвкушаю я ваши вопросы. :)

Да, потому что по условию самой задачи (!) нам уже дана рекурсивная зависимость всех чисел со всеми. Вы не ослышались. Вот именно. Правило 1/3 – это бесконечная рекурсия нечетных чисел по отношению друг к другу. И если мы с вами хоть раз начали с единицы, то развернув рекурсию в обратную сторону, мы вернемся к 1.

С вашего позволения, я подытожу. Гипотеза Коллатца – это частный случай спуска от N до 1 по рекурсии, которая уже была образована до этого от 1 до N.

Пришло время переименовать эту задачу в «Задачу о рекурсивном возрастании с 1 до N и рекурсивном спуске с N до 1», – вот в такой постановке она была бы решена еще в 1932 г.
И все вопросы сводились бы:
- А как, ты разве не знал, что имеешь дело с рекурсией (которая начинается с единицы)? Ты что серьезно не понимаешь, что такое рекурсия, и почему она снова возвращается в 1?

И какой-нибудь первоклассник во Франкфурте вышел бы к доске в 1932 г. и гордо произнес:
- Я доказал гипотезу Коллатца! Потому что спуск к 1 - это всего лишь развернутая в обратном направлении рекурсия.

И спустя 100 лет, какой-нибудь нобелевский лауреат подошел бы к нему в 2023 г. и спросил:
- Слушай дедушка, а как же ты доказал? Вот не пойму, я. Хоть убей.

И дедушка ответил:

- Правило 1/3 (шаг назад) «равно» правилу 3n+1? Так? Да.

- Почему?

- Потому что это правила одной закономерности. Они одинаковы (зеркальны), идентичны. Они рекурсивно привязаны к mod 3. Они одно целое, их нельзя рассматривать отдельно друг от друга.

- Ок, дедушка! Я всё понял! Но если мы начинаем двигаться с единицы (по правилу 1/3), разве сможем ли мы по 3n+1 вернуться в единицу?

- Да, черт возьми, да! Потому что это одна и та же рекурсия! Выполняя одни и те же действия, нельзя сойти с этого пути.

Доказательство гипотезы Коллатца сводится лишь к одному слову: РЕКУРСИЯ.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: не указана.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

Вспомнил свое давно забытое старое :

Soul Friend в сообщении #1345553 писал(а):

может кто в этой матрице найдёт доказательство для пункта 3 или 4 предыдущего поста:

Soul Friend в сообщении #1344434 писал(а):

M=matrix(100, 20)
for(m=1, 20, for(n=1, 100, if(Mod(2*n-1,3)==1, M[n,m]=((2^(2*m)*(2*n-1))-1)/3, if(Mod(2*n-1,3)==2, M[n,m]=((2^(2*m-1)*(2*n-1))-1)/3, M[n,m]=0))))

Эта матрица нечётных чисел, предшествующих перед числами $2n-1$ в последовательности, строющуюся по условиям гипотезы Коллатца.


взаимосвязанные последовательности в гипотезе Коллатца:




ниже некоторые свойства этой матрицы:




В этой матрице числа не повторяются. А вот является ли какое либо число $a$ предшественником числа $b$ которая является предшественником числа $a$ ? Вот в чём вопрос.

[Ende]

Эта тема закрыта в связи с тем, что ТС полностью переработал свои тезисы. Новую версию можно найти в теме «Гипотеза Коллатца. Доказательство»