Разложение 3+1 Зельманова

[schekn]

Собственно поскольку есть специалист в данной теме Утундрий, то
может он ответит на мои воросы.

Вопрос Первый. Метрику, принадлежащую одной задаче по ОТО , можно записать в разных системах отсчета.
Соответственно и разложение 3+1 по Зельманову-Агакову будут представлены в разном виде,
где хронометрические инварианты будут отличаться. Когда вы проверяете теорию, вы подставляете
в конечный результат координаты объектов, но вопрос в том, что сначала вы калибруете вашу систему.
Для Солнечной системы это координаты планет (или других объектов). Как вы определяете какое разложение
выбрать, применительно к состоявшейся калибровке?

Вопрос Второй. Можно применить разложение не локально, а глобально в смысле распространить его на всю
локальную карту. Там, где карта имеет координатную особенность, обычно переходят в систему отсчета,
где особенности нет. В области близкой к данной сингулярности мы имеем две метрики и два разложения,
принадлежащих одной задаче. Но так называемые хронометрические инварианты будут разные. Не возникнут
ли тут противоречия при решении конкретных задач?

[Утундрий]

Оставим пока глобальные вопросы и сосредоточимся на локальных.

schekn в сообщении #1581859 писал(а):

Метрику, принадлежащую одной задаче по ОТО , можно записать в разных системах отсчета.

Наверное здесь имелось в виду "в разных координатах"?

schekn в сообщении #1581859 писал(а):

Соответственно и разложение 3+1 по Зельманову-Агакову будут представлены в разном виде,
где хронометрические инварианты будут отличаться.

Обычно понятие системы отсчёта как раз и связывают с конкретным расщеплением. Поэтому, если при произвольном допустимом преобразовании координат хронометрические инварианты изменились, то мы просто перешли к другой системе отсчёта.

[schekn]

schekn в сообщении #1581859 писал(а):

Наверное здесь имелось в виду "в разных координатах"?

Нет, имелось в виду именно переход к другой системе отсчета. Я просто хотел показать, что существует произвол в таком разбиении.

Утундрий в сообщении #1581863 писал(а):

Обычно понятие системы отсчёта как раз и связывают с конкретным расщеплением. Поэтому, если при произвольном допустимом преобразовании координат хронометрические инварианты изменились, то мы просто перешли к другой системе отсчёта.

Здесь нет возражений. Это удобно, когда можно ввести различие в системе отсчета и системе координат. И ввести инварианты, которые не зависят от преобразований пространственных координат и от подстройки часов.
Я может не очень внятно сформулировал. Где вы используете это разбиение? В математических упражнениях или на практике?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1581992 писал(а):

Нет, имелось в виду именно переход к другой системе отсчета.

Поясните свою позицию. Произвольная допустимая (не тождественная) замена координат означает переход к другой системе отсчёта или нет?

P. S. Не нужно задавать двадцать вопросов одновременно.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582036 писал(а):

Поясните свою позицию. Произвольная допустимая (не тождественная) замена координат означает переход к другой системе отсчёта или нет?

P. S. Не нужно задавать двадцать вопросов одновременно.

А я не задаю 20 вопросов одновременно. Переход к другой системе отсчета имеется в виду задействованы все 4 координаты от одной СК к другой, где время и координаты перемешаны. Почему она не тождественная, если допустимая? Вы как-то отклоняетесь от ответов.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1582040 писал(а):

Вы как-то отклоняетесь от ответов.

Не вижу смысла обсуждать сложное, если не понятно простое. Вы поругаться пришли или что-то узнать? Для того, чтобы ответить на вопрос, я его должен сперва понять.

Вы упомянули "систему отсчёта". Так объясните, что вы имели в виду. Кстати, вот это:

schekn в сообщении #1582040 писал(а):

Переход к другой системе отсчета имеется в виду задействованы все 4 координаты от одной СК к другой.

- не объяснение.

Потому что в любом допустимом преобразовании "задействованы все координаты". Иначе оно будет вырожденным и, следовательно, не допустимым

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582044 писал(а):

- не объяснение.

Потому что в любом допустимом преобразовании "задействованы все координаты". Иначе оно будет вырожденным и, следовательно, не допустимым

Я там добавил фразу (может не заметили), что координата время перемешана с другими координатами. Или как у них в учебнике:

$$\bar{x}^i=\bar{x}^i(x^0,x^1,x^2,x^3)$$

В формуле преобразований появилась $x^0$ (преобразование нулевой координаты не выписываю). Тогда системы координат принадлежат разным системам отсчета.
Если $x^0$ нет, то тогда мы в одной системе отсчета.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1582064 писал(а):

координата время перемешана с другими координатами. Или как у них в учебнике:

$$\bar{x}^i=\bar{x}^i(x^0,x^1,x^2,x^3)$$

То есть, преобразования, не являющиеся хронометрическими. Всё, с этим ясно. Вы используете то же определение СО, о котором я и говорил. Едем дальше.

schekn в сообщении #1581859 писал(а):

Когда вы проверяете теорию, вы подставляете
в конечный результат координаты объектов, но вопрос в том, что сначала вы калибруете вашу систему.
Для Солнечной системы это координаты планет (или других объектов). Как вы определяете какое разложение
выбрать, применительно к состоявшейся калибровке?

Этот пассаж о каких-то "калибровках" тоже требует пояснения.

Что касается выбора СО, то он полностью произволен. Как удобно, так и выбирайте. Хоть такую, в которой каждая из планет покоится. Для планет это, конечно, дико, но может быть удобно при анализе, например, колец Сатурна или аккреции какой-нибудь.

Мотивы те же, что и для перехода в неинерциальную систему отсчёта обычной ньютоновой теории.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582067 писал(а):

Этот пассаж о каких-то "калибровках" тоже требует пояснения.

Вы когда проверяете теорию или пытаетесь предсказать события, то используете калибровку вашей системы и инструментов.
Проще говоря, в момент времени $t$ по вашим часам вы знаете с определенной точностью координаты в данном случае планет.
Поскольку Вы сами сказали, что выбор системы отсчета произволен, значит и расщепление по Зельманову тоже произвольно.
Я об этом и спрашиваю, как соотносится ваше решение по 3+1 с калибровкой солнечной системы.

[Утундрий]

Ничего не понял. Возьмём совсем простой случай пространства Минковского и введём там т.н. "монаду", т.е. набор мировых линий, исчерпывающих все события так, что через каждое событие проходит ровно одна мировая линия. Это и есть система отсчёта. Где тут приборы и калибровки?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582154 писал(а):

Ничего не понял. Возьмём совсем простой случай пространства Минковского и введём там т.н. "монаду", т.е. набор мировых линий, исчерпывающих все события так, что через каждое событие проходит ровно одна мировая линия. Это и есть система отсчёта. Где тут приборы и калибровки?

Наверное я плохо задаю вопросы. Ну тогда ладно. Видимо не судьба.
Только что вы проверяете в Минковском? Какую теорию? СТО? Или просто так вам захотелось
ввести Систему отсчета?

[Утундрий]

Метод $3+1$ расщепления пространства событий это никакая не теория, а инструмент. Технически, как я уже говорил, он соответствует использованию неинерциальных систем отсчёта. Много где это оказывается удобным. Например, можно выделить класс систем отсчёта, допускающих законы сохранения; или класс систем отсчёта, в которых уравнения гравитационного поля имеют дивергентную форму; или посмотреть, как выглядят уравнения Максвелла в в произвольной системе отсчёта (забавно выглядят) и т.д., была бы фантазия. Весь аппарат метода прекрасно строится в обычном Минковском (где, кстати, легко и наглядно интерпретируются все его объекты), а потом совершенно незамысловато, одной фразой "А теперь считаем $g_{\mu \nu}$ произвольными" переносится и на случай произвольного искривлённого пространства.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582371 писал(а):

Весь аппарат метода прекрасно строится в обычном Минковском (где, кстати, легко и наглядно интерпретируются все его объекты), а потом совершенно незамысловато, одной фразой "А теперь считаем $g_{\mu \nu}$ произвольными" переносится и на случай произвольного искривлённого пространства.

То, что вы написали понятно. Но вот так просто переносить метод на искривлённое пространство это нужно иметь определенное мужество. Неочевидно.
...
Собственно вопрос и заключался в том, как вы вводите в искривленном пространстве Систему отсчета и как она соотносится с калибровкой вашей системы.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1582432 писал(а):

Неочевидно

Все объекты и операции метода явно выражаются через компоненты метрического тензора, так что ничего не мешает считать их какими угодно. В разумных пределах, конечно. По модулю выполнения тех четырёх неравенств с детерминантами, имеющиеся в ЛЛ т2, которые мне лень выписывать.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1582444 писал(а):

Все объекты и операции метода явно выражаются через компоненты метрического тензора, так что ничего не мешает считать их какими угодно.

Мы похоже не понимаем друг друга.
В Минковском выбор системы отсчета является закономерным. По моему мнению, так удобно и наглядно геометрически можно интерпретировать СТО, получить нужные преобразования Лоренца, объяснить всякие "парадоксы". Соответственно нарисовать мировую линию частицы, предсказать её движение в 3-х мерном пространстве, зная начальные данные.
В искривлённом пространстве выбор системы отсчета не столь очевиден. Мы рассматриваем СО локально. Те же самые объекты теперь движутся не в плоской геометрии. Но координаты мы их знаем (как это другой вопрос). Иначе бы не смогли увидеть отклонение от СТО. Если вы будете говорить, что мы считаем сначала в СО, думая , что имеем дело с Минковским, то необходимо обосновать, почему вы в искривленном пространстве-времени выбираете нужную вам СО, координаты которой близки к Минковскому.