Неизмеримость измеримой функции от непрерывной функции

[Kuga]

1) В книге Колмогорова и Фомина (гл.5, параграф 4) вводится понятие измеримой функции.
В качестве примера приводятся действительные непрерывные функции действительной переменной:
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры на числовой прямой.

Далее, доказывается теорема (теорема 1):
Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.

Затем, формулируется следствие к этой теореме:
Непрерывная функция от измеримой функции измерима.

Пока вроде бы все более менее понятно. Но на семинарах М.И. Дьяченко с сайта teach-in утверждается:

2) Измеримая функция от непрерывной не обязана быть измеримой, как показывает пример канторовской лестницы https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/d ... ars-M2.pdf (стр. 55)

Как понять, что нет противоречия между 1) и 2) ?

Кажется, что получается следующее: пусть заданы две действительные функции $f$, $g$ действительной переменной. На областях определения и значений этих функций вводим борелевскую $\sigma$-алгебру. Пусть $f$ - измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры, а $g$ - непрерывная функция. При этом $g$ тоже будет измеримой относительно борелевской $\sigma$-алгебры, поэтому по теореме 1 измерима и суперпозиция $f(g(x))$. Но это противоречит примеру 2), который показывает, что $f(g(x))$ может быть неизмеримой.

По сути вопрос в том, почему аргумент применявшийся для доказательства измеримости $g(f(x))$ не проходит для $f(g(x))$?

Похожие вопросы обсуждались в этой теме post293185.html , но ответа на свой вопрос я там не нашел.

[krum]

Тут ,видимо, речь идет в одном месте о борелевской измеримости, а в друнгом о лебеговской

-- 02.02.2023, 12:08 --

композиция измеримых по Борелю функций -- измерима по борелю. Если в функцию измеримую по Лебегу воткнуть функцию даже непрерывную , то измеримой функции не получится, вообще говоря

[mihaild]

Теоремы из Колмогорова-Фомина - для случая, когда у нас и на домене и на кодомене сигма-алгебра борелевская. А у Дьяченко - на кодомене борелевская, а на домене - лебеговская.
(вообще с этим конспектом Дьяченко аккуратнее, там много опечаток)

Kuga в сообщении #1579857 писал(а):

Пусть $f$ - измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры

В примере Дьяченко $f$ - индикатор прообраза относительно канторовой лестницы неизмеримого множества - не борелевская.