2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неизмеримость измеримой функции от непрерывной функции
Сообщение02.02.2023, 10:45 


20/09/21
52
1) В книге Колмогорова и Фомина (гл.5, параграф 4) вводится понятие измеримой функции.
В качестве примера приводятся действительные непрерывные функции действительной переменной:
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры на числовой прямой.

Далее, доказывается теорема (теорема 1):
Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.

Затем, формулируется следствие к этой теореме:
Непрерывная функция от измеримой функции измерима.

Пока вроде бы все более менее понятно. Но на семинарах М.И. Дьяченко с сайта teach-in утверждается:

2) Измеримая функция от непрерывной не обязана быть измеримой, как показывает пример канторовской лестницы https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/d ... ars-M2.pdf (стр. 55)

Как понять, что нет противоречия между 1) и 2) ?

Кажется, что получается следующее: пусть заданы две действительные функции $f$, $g$ действительной переменной. На областях определения и значений этих функций вводим борелевскую $\sigma$-алгебру. Пусть $f$ - измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры, а $g$ - непрерывная функция. При этом $g$ тоже будет измеримой относительно борелевской $\sigma$-алгебры, поэтому по теореме 1 измерима и суперпозиция $f(g(x))$. Но это противоречит примеру 2), который показывает, что $f(g(x))$ может быть неизмеримой.

По сути вопрос в том, почему аргумент применявшийся для доказательства измеримости $g(f(x))$ не проходит для $f(g(x))$?

Похожие вопросы обсуждались в этой теме post293185.html , но ответа на свой вопрос я там не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизмеримость измеримой функции от непрерывной функции
Сообщение02.02.2023, 12:06 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Тут ,видимо, речь идет в одном месте о борелевской измеримости, а в друнгом о лебеговской

-- 02.02.2023, 12:08 --

композиция измеримых по Борелю функций -- измерима по борелю. Если в функцию измеримую по Лебегу воткнуть функцию даже непрерывную , то измеримой функции не получится, вообще говоря

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизмеримость измеримой функции от непрерывной функции
Сообщение02.02.2023, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Теоремы из Колмогорова-Фомина - для случая, когда у нас и на домене и на кодомене сигма-алгебра борелевская. А у Дьяченко - на кодомене борелевская, а на домене - лебеговская.
(вообще с этим конспектом Дьяченко аккуратнее, там много опечаток)
Kuga в сообщении #1579857 писал(а):
Пусть $f$ - измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры
В примере Дьяченко $f$ - индикатор прообраза относительно канторовой лестницы неизмеримого множества - не борелевская.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group