Архипов писал(а):
Вставляем равносторонний треугольник в квадрат, совместив две их вершины. Расположим треугольник симметрично относительно диагонали квадрата. Стороны треугольника будут больше сторон квадрата. Поворот треугольника относительно общей с квадратом вершины приводит к уменьшению одной его стороны, опирающейся на сторону квадрата. Для восстановления равенства сторон треугольника придется уменьшать друие стороны, тем самым уменьшаем размеры треугольника. Значит - до поворота размеры треугольника были максимально возможными. Так, наверное.
Не понял конкретные правила поворота: там что, угол при фиксированной вершине остаётся 60 градусов или как?
В любом случае, подобное рассуждение может доказать лишь, что исходное положение есть некий локальный максимум. На мой взгляд, надо так.
Рассмотрим любой треугольник, у которого ни одна из вершин не является вершиной квадрата. Тогда две вершины треугольника лежат на противоположных сторонах квадрата и ещё одна -- на третьей (в ином случае возможность раздувания треугольника очевидна. Воспользуемся тем, что в исходном положении вершины квадрата и треугольника отделены некоторым конечным расстоянием и что все углы тоже отделены от нуля. Та сторона треугольника, которая соединяет противоположные стороны квадрата, может быть увеличена сколь угодно малым поворотом. Противоположную вершину будем при этом преобразовании фиксировать как пересечение серединного перпендикуляра и противоположной стороны квадрата (так, чтобы треугольник оставался равнобедренным). Даже не имеет значения, увеличиваются при таком преобразовании боковые стороны или уменьшаются -- их всегда можно подогнать по длине к поворачиваемой стороне дополнительным параллельным переносом этой стороны.
Следовательно, для любого рассматриваемого исходного положения стороны всегда можно хоть чуть-чуть, да увеличить. Т.е. никакое такое положение не является максимальным.
