2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 22:05 


31/05/22
267
Здравствуйте, требуется найти сумму ряда: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}$$. Спойлер: все сайты где ряды делаются говорят, что он стремится к $\frac{-1}{e}$ но не показывают почему. В знаменателе факториал конечно даёт намёки на ряд Тейлора, но причём тут $\frac{-1}{e}$? Я попробовал просуммировать пары, вдруг получится в числителе избавиться от n, не получается. Что не вижу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Такие штуки делаются через ряды Тейлора. Напишите ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2 x^n}{n!}$ и проинтегрируйте его почленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:04 


31/05/22
267
Всё сделал, но не понял для чего это нужно. Можно ещё одну подсказку?

-- 15.01.2023, 23:07 --

Из за $(n+1)^2$ члены после интегрирования не сместились как бы сменив знак всего ряда. Да и к тому же непонятно как этот ряд связать с функцией от x, опять же из за $(n+1)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Maxim19 в сообщении #1577272 писал(а):
Всё сделал, но не понял для чего это нужно
А покажите, что получилось.
Ну и заодно подставьте в написанный мной ряд $x = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:10 


31/05/22
267
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$$ вот такой ряд

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Правильно. А теперь, как можно упростить $\frac{(n + 1)^2}{(n + 1)!}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:15 


31/05/22
267
$\frac{n+1}{n!}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Правильно. Какой ряд получается в итоге?
Можно ли как-то, проделав этот трюк еще раз, избавиться и от оставшегося $n + 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:46 


31/05/22
267
Ну можно например $\frac{n+1}{n!}$ представить как $\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}$ тогда получается, что все члены кроме первого и "последнего" сокращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение15.01.2023, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Да, так даже проще, чем то, что я думал (специфический для задачи способ лучше универсального). В итоге, сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$ посчитать сможете? И выразить из неё сумму исходного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение16.01.2023, 00:04 


31/05/22
267
Сумма проинтегрированного ряда в точке 1 равна нулю. Как из этой суммы выразить сумму исходного ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение16.01.2023, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Посчитать её в точке недостаточно, нужно посчитать её как функцию от $x$. В итоге у нас есть:
$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$$
$$g(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2 x^n}{n!}$$
$$S = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}$$
$g(x)$ вы должны суметь посчитать. Дальше, есть простая связь между $g(x)$ и $f(x)$, а так же $S$ и $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение16.01.2023, 00:18 


31/05/22
267
Может вы имели ввиду, что должен посчитать $f(x)$? Всё же из за этого интегрировали $g(x)$
Я надеюсь, что это не уйдёт к рядам Фурье и так далее. Не в точке 1 функцию $f(x)$ я посчитать не смогу, то преобразование имеет место быть только если $x^n=x^{n+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение16.01.2023, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Maxim19 в сообщении #1577293 писал(а):
Может вы имели ввиду, что должен посчитать $f(x)$?
Да, вы правы, посчитать $f(x)$. Вроде бы у вас это получилось сведением ряда к телескопическому.
Дальше это никуда не идет, оставшиеся сведения совсем простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда.
Сообщение16.01.2023, 01:30 


30/09/19
22
По-моему, тут можно обойтись без интегрирования/дифференцирования. Просто раскрыть скобки, сократить то, что сокращается, а где не сокращается использовать трюк в сообщении #1577281, тогда получаться несколько рядов Тейлора для $e^{-1}$ с разными знаками.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group