Найти сумму ряда.

[Maxim19]

Там все члены ряда сократились только лишь при условии, что $x^n=x^{n+1}$. Как работать для произвольного x я не знаю.

-- 16.01.2023, 01:39 --

pupugai
Действительно, получается ряд точно соответствующий -e^{-1}

[mihaild]

А, я не обратил внимания. Ну тогда всё же понадобится то, что я предлагал изначально - аналогичным трюком избавиться от оставшегося $n + 1$ в знаменателе. Если просто проинтегрировать $f$, то ничего хорошего не получится, но если написать $f(x) = x \cdot h(x)$, то почленным интегрированием уже можно будет найти ряд для первообразной $h$.

[svv]

Я думаю, имеется в виду примерно такой способ (а если нет, пусть будет ещё один):
Пусть $a_n=\begin{cases}\frac{(-1)^n}{n!}&\text{if}\;n\geqslant 0\\0&\text{otherwise}\end{cases}$ и $A=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$
Тогда $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-3a_{n+1}+a_{n+2})=A-3A+A$

[svv]

svv в сообщении #1577305 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-3a_{n{\color{magenta}+}1}+a_{n{\color{magenta}+}2})=A-3A+A$

$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-3a_{n-1}+a_{n-2})=A-3A+A$

[ewert]

Как-то всё чересчур изобретательно. Известно, что $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}=e^{-1}$ (да, из ряда Тейлора, естественно, но будем считать это просто известным). Тогда после раскрытия скобки в числителе и почленного деления два слагаемых из трёх сразу сводятся к $e^{-1}$, и сомнение может вызвать разве что $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nn^2}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{(n-1)!}$. Но и тут никаких сомнений: после сдвига нумерации получаем $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n!}$, и остаётся лишь ещё раз разделить почленно.