Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.

[hassword]

Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса на плоскость.
Суть задачи в следующем.
Нам известно три точки (A, B, C) и центр эллипса(O). Я проецирую эллипс на плоскость. Нужно найти центр получившегося эллипса.
Я накидал решение:
1) Применяем построение( смотри рисунок) для точек A,B,C,O и находим точку M.

Чёрные прямые симметричны сторонам треугольника относительно точки O.
2) Проецируем точки A,B,C,M на плоскость и получаем новые точки A',B',C',M'.
3) Опять применяем построение для точек A',B',C',M' и находим точку O'. Искомый центр эллипса.

Мне стало интересно есть ли более лёгкий способ решения этой задачи?

[hassword]

Вот ещё одно решение:

Можно найти центр по пяти точкам.

1) Строим касательные (например касательные PD PE)


2) Строим четырёхугольник (воспользовавшись пунктом выше)


3) Находим отрезок FE ( где F и E середины диагоналей четырехугольника).

4) Строим ещё один четырёхугольник. И пересечение их отрезков будет искомый центр.

То есть стереометрическое решение свелось к планиметрическому.

Легче конечно не стало. Я думаю есть более лёгкий и информативный способ.

[svv]

hassword в сообщении #1576874 писал(а):

Нам известно три точки (A, B, C) и центр эллипса(O). Я проецирую эллипс на плоскость.

hassword в сообщении #1576874 писал(а):

Проецируем точки A,B,C,M на плоскость и получаем новые точки A',B',C',M'.

А как точки $A,B,C,O$ заданы, если не своими центральными проекциями на плоскость?

[hassword]

svv
Не совсем понял вопрос. Что вы понимаете под выражением "заданы своими центральными проекциями"
Они просто заданы. Как и точка проецирования.

-- 22.01.2023, 08:33 --

Заданы своими проекциями точки со штрихами.

[svv]

hassword в сообщении #1578250 писал(а):

Заданы своими проекциями точки со штрихами.

Вряд ли: точки со штрихами не заданы, а построены.
Про точки $A,B,C,O$ и точку проецирования я понял, следует считать, что они заданы именно в пространстве.
Если я правильно понял, всё, что изображено на первой картинке, лежит в плоскости исходного эллипса. Я сначала думал, что эта картинка изображает ход пространственного построения (в какой-то проекции) и не понимал, почему там нет точек со штрихами.
Хорошо, а что за точка $M$, зачем Вы её строили и как она связана с эллипсом и его центром? И каков смысл всех линий?
И почему всё это должно быть ясно без пояснений?

[hassword]

svv
Точка M (точнее её проекция M') нужна в будущем для дальнейшего построения в плоскости проекции. Там тоже самое, только вместо точек A, B, C, O, M точки A', B', C', M', O'.

-- 22.01.2023, 11:12 --

svv в сообщении #1578254 писал(а):

Хорошо, а что за точка $M$, зачем Вы её строили и как она связана с эллипсом и его центром? И каков смысл всех линий?
И почему всё это должно быть ясно без пояснений?

Я могу показать как строить. Если что на рисунке непонятно я объясню.

[svv]

Сам рисунок хороший и последовательность построений понятна. Единственный вопрос — каков их смысл. То есть алгоритм построения понятен, а идея — нет.
Примерно как программа в машинных инструкциях.

[hassword]

svv
Первоначально вопрос стоял так :
С проецировать эллипс на плоскость.
Так как эллипс задан пятью точками. То мы просто проецируем точки на плоскость.
Если мы определяем эллипс не по пяти точкам, а по трём точкам и центру. То задача усложняется. Так как нам помимо трёх точек нужно искать и центр.

svv в сообщении #1578291 писал(а):

То есть алгоритм построения понятен, а идея — нет.
Примерно как программа в машинных инструкциях.

Да согласен, у меня тоже такие чувства возникают.

Но я в этом не виноват. Это просто попытка решить задачу. Что имеем то имеем.

[svv]

hassword в сообщении #1578299 писал(а):

Первоначально вопрос стоял так :
С проецировать эллипс на плоскость.
Так как эллипс задан пятью точками. То мы просто проецируем точки на плоскость.
Если мы определяем эллипс не по пяти точкам, а по трём точкам и центру. То задача усложняется. Так как нам помимо трёх точек нужно искать и центр.

А не помогло бы взять ещё три точки $A_1,B_1,C_1$, симметричные $A,B,C$ относительно $O$, и спроецировать их? Тогда у Вас уже шесть точек. Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти? (я понимаю, что это не то же самое, что проекция центра $O$).

hassword в сообщении #1578299 писал(а):

Да согласен, у меня тоже такие чувства возникают.

Просто... откуда тогда уверенность, что в результате построений получается нужная точка?

[hassword]

svv в сообщении #1578333 писал(а):

А не помогло бы взять ещё три точки $A_1,B_1,C_1$, симметричные $A,B,C$ относительно $O$, и спроецировать их? Тогда у Вас уже шесть точек. Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти?

Не обязательно три, достаточно две. Я уже расписал решение во втором посте.

svv в сообщении #1578333 писал(а):

Просто... откуда тогда уверенность, что в результате построений получается нужная точка?

Можете проверить сами. Но я проверял программно. Составлял уравнение эллипса по пяти точкам и находил центр.

-- 22.01.2023, 23:54 --

svv в сообщении #1578333 писал(а):

Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти?

Согласен. Но я пока не знаю как такое преимущество можно применить.
Возможно я уже её применил в первом посте.

-- 22.01.2023, 23:57 --

hassword в сообщении #1576874 писал(а):

Чёрные прямые симметричны сторонам треугольника относительно точки O.

Примерно вот здесь.

[svv]

Можно найти центр другим способом, с помощью теоремы Паскаля, которая обычно используется для построения эллипса по пяти известным точкам. Обозначим их $A,B,C,D,E$.

1) $K$ — точка пересечения $BD$ и $CE$.
2) $b$ — прямая, проведенная через $B$ параллельно $CE$.
3) $L$ — точка пересечения $b$ и $AE$.
4) $M$ — точка пересечения $KL$ и $AD$.
5) $F$ — точка пересечения $CM$ и $BL$.
Мы получили не просто ещё одну точку $F$ эллипса. Теперь у нас есть две параллельные хорды $CE$ и $BF$ (выделены красным). Известно, что прямая, соединяющая их середины, проходит через центр эллипса.

Нам нужна ещё одна пара параллельных хорд. Получим их аналогично по точкам $A,B,C,E,F$ (например).
Посмотрите сами, не будет ли это проще.

[hassword]

svv

svv в сообщении #1578475 писал(а):

Посмотрите сами, не будет ли это проще.

Не только проще. Вы внесли ясность. Теперь каждый школьник будет знать как построить центр по пяти точкам.
Низкий вам поклон до земли.

[svv]

Посмотрите, пожалуйста, ещё здесь другие способы. Но, мне кажется, они сложнее (особенно не вникал).

[hassword]

Обязательно посмотрю. Если найду что-нибудь интересное, напишу.

[hassword]

svv
Вот ещё одно решение:
Стороны красного треугольника касаются эллипса в точках A, B, C.
F, G, H середины сторон треугольника ABC.
Жёлтые прямые пересекаются в центре.


-- 28.01.2023, 13:17 --

Но там надо строить касательные.Так что он сложнее метода которое вы предложили.