2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение12.01.2023, 18:59 


17/05/13
149
Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса на плоскость.
Суть задачи в следующем.
Нам известно три точки (A, B, C) и центр эллипса(O). Я проецирую эллипс на плоскость. Нужно найти центр получившегося эллипса.
Я накидал решение:
1) Применяем построение( смотри рисунок) для точек A,B,C,O и находим точку M.
Изображение
Чёрные прямые симметричны сторонам треугольника относительно точки O.
2) Проецируем точки A,B,C,M на плоскость и получаем новые точки A',B',C',M'.
3) Опять применяем построение для точек A',B',C',M' и находим точку O'. Искомый центр эллипса.

Мне стало интересно есть ли более лёгкий способ решения этой задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение21.01.2023, 18:33 


17/05/13
149
Вот ещё одно решение:

Можно найти центр по пяти точкам.

1) Строим касательные (например касательные PD PE)
Изображение

2) Строим четырёхугольник (воспользовавшись пунктом выше)
Изображение

3) Находим отрезок FE ( где F и E середины диагоналей четырехугольника).

4) Строим ещё один четырёхугольник. И пересечение их отрезков будет искомый центр.

То есть стереометрическое решение свелось к планиметрическому.

Легче конечно не стало. Я думаю есть более лёгкий и информативный способ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 03:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
hassword в сообщении #1576874 писал(а):
Нам известно три точки (A, B, C) и центр эллипса(O). Я проецирую эллипс на плоскость.
hassword в сообщении #1576874 писал(а):
Проецируем точки A,B,C,M на плоскость и получаем новые точки A',B',C',M'.
А как точки $A,B,C,O$ заданы, если не своими центральными проекциями на плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 08:20 


17/05/13
149
svv
Не совсем понял вопрос. Что вы понимаете под выражением "заданы своими центральными проекциями"
Они просто заданы. Как и точка проецирования.

-- 22.01.2023, 08:33 --

Заданы своими проекциями точки со штрихами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 09:39 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
hassword в сообщении #1578250 писал(а):
Заданы своими проекциями точки со штрихами.
Вряд ли: точки со штрихами не заданы, а построены.
Про точки $A,B,C,O$ и точку проецирования я понял, следует считать, что они заданы именно в пространстве.
Если я правильно понял, всё, что изображено на первой картинке, лежит в плоскости исходного эллипса. Я сначала думал, что эта картинка изображает ход пространственного построения (в какой-то проекции) и не понимал, почему там нет точек со штрихами.
Хорошо, а что за точка $M$, зачем Вы её строили и как она связана с эллипсом и его центром? И каков смысл всех линий?
И почему всё это должно быть ясно без пояснений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 10:50 


17/05/13
149
svv
Точка M (точнее её проекция M') нужна в будущем для дальнейшего построения в плоскости проекции. Там тоже самое, только вместо точек A, B, C, O, M точки A', B', C', M', O'.

-- 22.01.2023, 11:12 --

svv в сообщении #1578254 писал(а):
Хорошо, а что за точка $M$, зачем Вы её строили и как она связана с эллипсом и его центром? И каков смысл всех линий?
И почему всё это должно быть ясно без пояснений?

Я могу показать как строить. Если что на рисунке непонятно я объясню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 16:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Сам рисунок хороший и последовательность построений понятна. Единственный вопрос — каков их смысл. То есть алгоритм построения понятен, а идея — нет.
Примерно как программа в машинных инструкциях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 18:23 


17/05/13
149
svv
Первоначально вопрос стоял так :
С проецировать эллипс на плоскость.
Так как эллипс задан пятью точками. То мы просто проецируем точки на плоскость.
Если мы определяем эллипс не по пяти точкам, а по трём точкам и центру. То задача усложняется. Так как нам помимо трёх точек нужно искать и центр.

svv в сообщении #1578291 писал(а):
То есть алгоритм построения понятен, а идея — нет.
Примерно как программа в машинных инструкциях.


Да согласен, у меня тоже такие чувства возникают.

Но я в этом не виноват. Это просто попытка решить задачу. Что имеем то имеем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 23:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
hassword в сообщении #1578299 писал(а):
Первоначально вопрос стоял так :
С проецировать эллипс на плоскость.
Так как эллипс задан пятью точками. То мы просто проецируем точки на плоскость.
Если мы определяем эллипс не по пяти точкам, а по трём точкам и центру. То задача усложняется. Так как нам помимо трёх точек нужно искать и центр.
А не помогло бы взять ещё три точки $A_1,B_1,C_1$, симметричные $A,B,C$ относительно $O$, и спроецировать их? Тогда у Вас уже шесть точек. Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти? (я понимаю, что это не то же самое, что проекция центра $O$).
hassword в сообщении #1578299 писал(а):
Да согласен, у меня тоже такие чувства возникают.
Просто... откуда тогда уверенность, что в результате построений получается нужная точка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение22.01.2023, 23:40 


17/05/13
149
svv в сообщении #1578333 писал(а):
А не помогло бы взять ещё три точки $A_1,B_1,C_1$, симметричные $A,B,C$ относительно $O$, и спроецировать их? Тогда у Вас уже шесть точек. Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти?

Не обязательно три, достаточно две. Я уже расписал решение во втором посте.
svv в сообщении #1578333 писал(а):
Просто... откуда тогда уверенность, что в результате построений получается нужная точка?

Можете проверить сами. Но я проверял программно. Составлял уравнение эллипса по пяти точкам и находил центр.

-- 22.01.2023, 23:54 --

svv в сообщении #1578333 писал(а):
Может, с их помощью и центр спроецированного эллипса легче было бы найти?


Согласен. Но я пока не знаю как такое преимущество можно применить.
Возможно я уже её применил в первом посте.

-- 22.01.2023, 23:57 --

hassword в сообщении #1576874 писал(а):
Чёрные прямые симметричны сторонам треугольника относительно точки O.

Примерно вот здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение23.01.2023, 21:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно найти центр другим способом, с помощью теоремы Паскаля, которая обычно используется для построения эллипса по пяти известным точкам. Обозначим их $A,B,C,D,E$.
Изображение
1) $K$ — точка пересечения $BD$ и $CE$.
2) $b$ — прямая, проведенная через $B$ параллельно $CE$.
3) $L$ — точка пересечения $b$ и $AE$.
4) $M$ — точка пересечения $KL$ и $AD$.
5) $F$ — точка пересечения $CM$ и $BL$.
Мы получили не просто ещё одну точку $F$ эллипса. Теперь у нас есть две параллельные хорды $CE$ и $BF$ (выделены красным). Известно, что прямая, соединяющая их середины, проходит через центр эллипса.

Нам нужна ещё одна пара параллельных хорд. Получим их аналогично по точкам $A,B,C,E,F$ (например).
Посмотрите сами, не будет ли это проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение24.01.2023, 00:19 


17/05/13
149
svv
svv в сообщении #1578475 писал(а):
Посмотрите сами, не будет ли это проще.

Не только проще. Вы внесли ясность. Теперь каждый школьник будет знать как построить центр по пяти точкам.
Низкий вам поклон до земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение24.01.2023, 01:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Посмотрите, пожалуйста, ещё здесь другие способы. Но, мне кажется, они сложнее (особенно не вникал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение24.01.2023, 14:15 


17/05/13
149
Обязательно посмотрю. Если найду что-нибудь интересное, напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начертательная геометрия. Центральная проекция эллипса.
Сообщение28.01.2023, 12:39 


17/05/13
149
svv
Вот ещё одно решение:
Стороны красного треугольника касаются эллипса в точках A, B, C.
F, G, H середины сторон треугольника ABC.
Жёлтые прямые пересекаются в центре.
Изображение

-- 28.01.2023, 13:17 --

Но там надо строить касательные.Так что он сложнее метода которое вы предложили.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group