Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда

[OilKotleta]

Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$
По определению: Для расходимости ряда $\sum a_n$ необходимо и достаточно, чтобы существовало $\varepsilon$ такое, что для любого $n_0\geqslant 1$ найдутся натуральные $n>n_0$ и $p$, для которых справедливо неравенство $\Big|\sum\limits_{m=n+1}^{n+p}a_m \Big|\geqslant \varepsilon$
Рассмотрим:
$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{2n}{{(2n)}^2+4}\Big|{>}\frac{1}{n^3}{>}\varepsilon$
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, что я сделала не так?
Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- наберите формулы, и в задании тоже. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Null]

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?

Должен.

[OilKotleta]

Null в сообщении #1576489 писал(а):

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?

Должен.

Подскажите, пожалуйста, какой $\varepsilon$ тут можно было бы подобрать?
Или мое решение совсем, получается, не верно?

[Null]

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|$

Вот это неравенство слишком слабое.

[OilKotleta]

Null в сообщении #1576491 писал(а):

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|$

Вот это неравенство слишком слабое.

Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

[krum]

Давайте докажем расходимость ряда $\sum\frac{1}{n}$. Так проще как-то.

-- 08.01.2023, 14:07 --

OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):

енить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

так

$$\frac{n+1}{n^2+4}\ge \frac{C}{n},\quad C>0$$

[OilKotleta]

OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):

енить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

так

$$\frac{n+1}{n^2+4}\ge \frac{C}{n},\quad C>0$$

В итоге, я к этому и пришла, однако меня и смущает получившееся неравенство. Почему мы утверждаем, что оно больше эпсилон? Значит должен существовать эпсилон, но какой?

[krum]

$$1/n\ge 1/x,\quad x\in [n,n+1]$$

интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$

[OilKotleta]

krum в сообщении #1576500 писал(а):

$$1/n\ge 1/x,\quad x\in [n,n+1]$$

интегрируйте по $x$ неравенство от $n$ до $n+1$

Проинтегрирую, а зачем?

$$\frac xn\ge\ln{x},\quad x\in [n,n+1]$$

[Null]

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$

krum в сообщении #1576500 писал(а):

интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$

Так не надо. Это другой метод

OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):

Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит.

Прочитайте как доказывается что сумма $\frac{1}{n}$ расходиться(есть во многих учебниках). Здесь нужно сделать то же самое.

[fbz2000]

А просто оценить используя что $|\frac{n+2}{(n+1)^2+4}| > |\frac{n+2}{(n+p)^2+4}|$ и так для каждого члена суммы и положить $p = 2N$ или чему там

[OilKotleta]

Null в сообщении #1576507 писал(а):

OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):

Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$

krum в сообщении #1576500 писал(а):

интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$

Так не надо. Это другой метод

OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):

Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит.

Прочитайте как доказывается что сумма $\frac{1}{n}$ расходиться(есть во многих учебниках). Здесь нужно сделать то же самое.

Поняла, благодарю

-- 08.01.2023, 15:06 --

fbz2000 в сообщении #1576509 писал(а):

А просто оценить используя что $|\frac{n+2}{(n+1)^2+4}| > |\frac{n+2}{(n+p)^2+4}|$ и так для каждого члена суммы и положить $p = 2N$ или чему там

Я так и делала, вопрос у меня был в результате.

[Combat Zone]

OilKotleta в сообщении #1576511 писал(а):

Я так и делала, вопрос у меня был в результате.

И заменяли всю сумму одним слагаемым. А их больше.