Относительность магнитных и электрических полей Фейнмана

[Dedekind]

В параграфе 6 т.5 "Фейнмановских лекций по физике" рассматривается взаимодействие движущейся отрицательно заряженной частицы (дальше "пробная частица" для краткости) и провода с током. Ситуация рассматривается в 2-х ИСО:
(1) лабораторной, в которой пробная частица имеет скорость $v$ относительно провода
(2) системе отсчета, связанной с пробной частицей.
При этом, Фейнман утверждает, что в (1) для провода с током плотность электронов проводимости $\rho_-$ равна (по модулю) плотности неподвижных ионов кристаллической решетки $\rho_+$. Значит провод в целом нейтрален, а пробный заряд притягивается к нему магнитным полем.
В ИСО (2), поскольку ионы решетки двигаются со скоростью $v$ относительно неподвижной пробной частицы, их плотность увеличивается по Лоренцу: $\rho'_+ = \dfrac{\rho_+}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. При этом уменьшается и плотность теперь неподвижных электронов $\rho'_- = \rho_-\sqrt{1 - v^2/c^2}$. В результате провод становится положительно заряженным. И на пробную частицу теперь уже действуют не магнитные, а электростатические силы.

Мое затруднение заключается в том, что я не могу понять вот это утверждение: для провода с током в лабораторной ИСО плотность электронов проводимости $\rho_-$ равна (по модулю) плотности неподвижных ионов кристаллической решетки $\rho_+$. Предположим, у нас есть незаряженный кусок провода, по которому не течет ток. Тут понятно, что плотность электронов должна равняться плотности ионов решетки. Но если мы запустили по проводу ток, и рассматриваем все из лабораторной ИСО, то ведь плотность движущихся электронов должна увеличиваться по Лоренцу? Получается, в лабораторной ИСО провод с током должен казаться отрицательно заряженным и отталкивать пробную частицу. Но этого, разумеется, не происходит. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь?

[svv]

Dedekind в сообщении #1575346 писал(а):

ведь плотность движущихся электронов должна увеличиваться по Лоренцу?

Плотность движущихся электронов в лабораторной ИСО увеличилась бы, если бы после начала движения электронов сохранилась их плотность в собственной ИСО (пусть локальной и мгновенно сопутствующей). При этом в проводник пришлось бы добавить ещё электронов откуда-нибудь. Вместо этого сохраняется количество электронов (представьте замкнутый изолированный провод), а потому и плотность в лабораторной ИСО.

[Dedekind]

svv в сообщении #1575391 писал(а):

Плотность движущихся электронов в лабораторной ИСО увеличилась бы, если бы после начала движения электронов сохранилась их плотность в собственной ИСО (пусть локальной и мгновенно сопутствующей).

А она не сохраняется? Пусть плотность электронов в лабораторной ИСО при включенном токе $\rho_-$. Тогда, в собственной ИСО электронов их плотность $\rho'_- = \rho_-\sqrt{1-v^2/c^2}$. Теперь, если выключить ток, то Вы хотите сказать, что плотность электронов в лабораторной ИСО не будет равна $\rho'_-$?

[svv]

Мы рассматриваем только подвижные электроны, которые под действием электрического поля могут перемещаться и создавать ток. Представим, что они помечены красным цветом. Остальные электроны относим к "решётке".

Собственная плотность не сохраняется, именно потому, что сохраняется плотность в лабораторной системе. Последнее следует из простых соображений. Когда возникает ток, число этих красных электронов не меняется, длина проводника тоже.

Когда мы разгоняем линейку до скорости $v$, её длина в лабораторной системе уменьшается в соответствии с лоренцевым сокращением. Но ясно, что этот эффект можно скомпенсировать деформацией линейки, а именно увеличением её собственной длины, как раз настолько, чтобы в лабораторной системе длина осталась прежней. Каждый малый участок линейки в собственной системе испытывает растяжение. С подвижными электронами происходит подобное.

[EUgeneUS]

svv
Тут дело немного в другом.

Dedekind
Попробую объяснить на пальцах.

Пометим, например, фломастером два сечения провода на расстоянии $L$.
1. В ЛС:
а) Пусть между отметками ровно $N$ положительных зарядов, они не двигаются.
б) Так как в ЛС провод электрически нейтрален, то в любой момент времени между отметками ровно $N$ отрицательных зарядов. И они двигаются.
в) А это означает, что если в некий момент времени через одно сечение покидает отмеченный участок провода первый электрон, то через другое сечение в отмеченный участок провода заходит $N+1$-й электрон.

2. В движущейся системе отсчёта.
Конечно, провод претерпит лоренцово сокращение, но это не особо важно, так как между отметками всё также будет $N$ положительных зарядов..
В движущейся СО события, когда участок провода покидает первый электрон, и когда в участок провода заходит $N+1$-й электрон не одновременны. Поэтому получается, что в каждый момент времени в этой СО в отмеченном участке провода находится число электронов отличное от $N$ и провод оказывается заряженным.

[svv]

EUgeneUS, но Вы ведь с этим согласны?:

svv в сообщении #1575403 писал(а):

Собственная плотность не сохраняется, именно потому, что сохраняется плотность в лабораторной системе. Последнее следует из простых соображений. Когда возникает ток, число этих красных электронов не меняется, длина проводника тоже.

А всё остальное у меня отвечает не на вопрос "почему", а на вопрос "как это выглядит" с той или иной точки зрения.

[Dedekind]

EUgeneUS
Я согласен со всеми пунктами, кроме вот этого

EUgeneUS в сообщении #1575405 писал(а):

б) Так как в ЛС провод электрически нейтрален, то в любой момент времени между отметками ровно $N$ отрицательных зарядов.

в котором как раз и заключался мой вопрос. Почему он нейтрален? С точки зрения теории, разумеется. Я понимаю, что на практике это так. Давайте рассмотрим провод с током и без только в одной, лабораторной ИСО.
1. Когда тока нет, электроны неподвижны (не считая хаотического движения и т.д., конечно). То есть, между отметками будет $N$ положительных и $N$ отрицательных зарядов. Тут все понятно, провод нейтрален.
2. Когда ток есть, "стержень" из $N$ электронов внутри провода движется и испытывает лоренцево сокращение. При этом расстояние между отметками не меняется, значит, между ними набивается больше чем $N$ электронов и провод становится отрицательно заряженным.
Я прошу прощения, скорее всего я где-то элементарно туплю, но я в упор не вижу в чем ошибочность этих рассуждений.

svv

svv в сообщении #1575403 писал(а):

Когда возникает ток, число этих красных электронов не меняется

Вот это для меня неочевидно. Смотрите пункт 2 выше.

[svv]

А откуда эти дополнительные электроны возьмутся? Вот представьте: проводник в форме кольца окружён изоляторами, а то и просто висит в вакууме. Мы меняем магнитный поток через кольцо, в проводнике появляется ток.

[Dedekind]

svv в сообщении #1575431 писал(а):

А откуда эти дополнительные электроны возьмутся? Вот представьте: проводник в форме кольца окружён изоляторами, а то и просто висит в вакууме. Мы меняем магнитный поток через кольцо, в проводнике появляется ток.

Давайте пока что не усложнять задачу дополнительными магнитными полями. Рассматриваем обычный прямой провод, подключенный к источнику тока. Дополнительные электроны возьмутся из источника тогда.

[DimaM]

Dedekind в сообщении #1575454 писал(а):

Дополнительные электроны возьмутся из источника тогда.

Тогда источник зарядится положительно, а провод - отрицательно. В реальных источниках и проводах обычно такого не происходит.

-- 29.12.2022, 14:55 --

Dedekind в сообщении #1575411 писал(а):

Когда ток есть, "стержень" из $N$ электронов внутри провода движется и испытывает лоренцево сокращение.

Вот это "испытывает лоренцево сокращение" непонятно, откуда взялось.
Были в ЛИСО в проводе неподвижные электроны. Теперь на них одновременно в ЛИСО начали действовать силы - электроны начали двигаться. Причем каждый двинулся со своего начального места. Количество электронов при этом не изменилось, плотность тоже осталась начальной.

[Dedekind]

DimaM в сообщении #1575456 писал(а):

Теперь на них одновременно в ЛИСО начали действовать силы - электроны начали двигаться. Причем каждый двинулся со своего начального места. Количество электронов при этом не изменилось, плотность тоже осталась начальной.

Хорошо, а откуда тогда вообще берется лоренцево сокращение? Допустим, у нас есть неподвижный стержень. Мы измерили его длину в ЛИСО (пусть будет $L_0$). Теперь стержень толкнули, придав ему скорость $v$. По аналогичным Вашим рассуждениям, атомы стержня начали движение, каждый со своего начального места. Количество атомов также не изменилось. Вы хотите сказать, что длина движущегося стержня, измеренная в ЛИСО, останется $L_0$, а не станет $L = L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$?

DimaM в сообщении #1575456 писал(а):

Тогда источник зарядится положительно, а провод - отрицательно. В реальных источниках и проводах обычно такого не происходит.

Вот именно в этом и был мой вопрос:) Если рассуждать через лоренцево сокращение, то получается, что провод должен зарядиться отрицательно, что, очевидно, на практике неверно. Подскажите, пожалуйста, в чем разница между примером со стержнем выше и "стержнем" электронов в проводе?

[Dedekind]

DimaM, svv, EUgeneUS

В поисках ответа на свой вопрос, натолкнулся на такие рассуждения (см. принятый ответ). https://physics.stackexchange.com/quest ... ctromagnet. В пункте 2 принятого ответа как раз и говорится о том, о чем говорил и я. Там это объясняется тем, что электроны таки сжимаются, но извне приходят дополнительные положительные заряды, которые это компенсируют.

Цитата:

You start a current, making the negative charges flow to the right. Because of special relativity and length contraction, the negative charges are "squished together" slightly in the direction they travel, compared to their length in their rest frame (the frame where they are not moving).The wire will be negatively charged, since there are more negative charges per length unit than positive ones. Compensate for this by giving the wire a positive charge so that it is still neutral in the lab frame.

Считаете ли вы такое объяснение правильным? Мне так не кажется, потому что теперь уж точно возникает вопрос, откуда возьмутся эти положительные заряды? Электроны хоть подвижны, а ионы же сидят в кристаллической решетке.
И потом, почему нельзя ту же логику применить к проводу в ИСО движущегося пробного заряда (п. 4 в ответе по ссылке), где сжимаются положительные заряды, но компенсации дополнительными отрицательными почему-то не происходит?

[EUgeneUS]

Dedekind
В СТО есть такой "парадокс" шеста и сарая.
Он наглядно показывает, что Лоренцово сокращение длины обязательно связано с Лоренцовым же сокращением времени.
Поэтому, что рассматривать появление заряда через сокращение длины, что через замедление времени - это всё тоже самое, вид в профиль.

-- 04.01.2023, 21:46 --

Dedekind в сообщении #1575346 писал(а):

В результате провод становится положительно заряженным. И на пробную частицу теперь уже действуют не магнитные, а электростатические силы.

Кстати, тут правильно написать так: "на пробную частицу теперь уже действуют не только магнитные, но и электростатические силы".

Если в какой-то ИСО существует только магнитное поле, то нет такой ИСО, где было существовало только электрическое поле. И наоборот.

[Dedekind]

EUgeneUS в сообщении #1576229 писал(а):

Поэтому, что рассматривать появление заряда через сокращение длины, что через замедление времени - это всё тоже самое, вид в профиль.

Я не совсем понял к чему это. Мое затруднение состоит в том, почему заряд как раз не появляется в ЛИСО. С появлением заряда провода в ИСО пробной частицы как раз проблем нет.

EUgeneUS в сообщении #1576229 писал(а):

Кстати, тут правильно написать так: "на пробную частицу теперь уже действуют не только магнитные, но и электростатические силы".
Если в какой-то ИСО существует только магнитное поле, то нет такой ИСО, где было существовало только электрическое поле. И наоборот.

Да нет, вроде все правильно было написано. Хоть магнитное поле и существует в ИСО пробной частицы, но на нее не действует, поскольку частица в своей ИСО покоится. Поэтому силы действительно остаются только электростатические.

[DimaM]

Dedekind в сообщении #1575464 писал(а):

Допустим, у нас есть неподвижный стержень. Мы измерили его длину в ЛИСО (пусть будет $L_0$). Теперь стержень толкнули, придав ему скорость $v$. По аналогичным Вашим рассуждениям, атомы стержня начали движение, каждый со своего начального места. Количество атомов также не изменилось. Вы хотите сказать, что длина движущегося стержня, измеренная в ЛИСО, останется $L_0$, а не станет $L = L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$?

Зависит от того, как разгонять. Если все точки будут двигаться одинаково, то длина действительно останется $L_0$, но стержень будет растянут (см. парадокс Белла).