Решение однородных СЛАУ

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте. Мне нужно написать алгоритм для решения однородных систем линейных уравнений. Известно, что ранг $r$ матрицы $A$ всегда меньше размера $n$. Таким образом размер нулевого пространства $ns = n-r$. Вывести результат нужно в виде матрицы $n\times ns$, где строчки соответствуют значениям неизвестных, а столбцы коэффициенты при свободных членах. Причем вывести результат нужно в в том порядке, в котором были стобцы у матрицы $A$, т.е. столбцы в процессе решения нельзя менять местами, или же как-то их метить заранее. Я реализовал метод Гаусса, но проблема возникает в том, что когда мы проходимся по диагональным элементам и внезапно встречаем ноль. В таком случае, очевидно, мы не сможем занулить все элементы снизу. Я попробовал искать снизу строку, в которой в этом же столбце будет не ноль, и поменять их местами. Но проблема в том, что есть случаи, когда все элементы ниже рассматриваемого на диагонали тоже нулевые. Это происходит по крайней мере в тех случаях, когда в рассматриваемой строчке все элементы равны нулю, т.е. мы их уже уничтожили на предыдущих этапах алгоритма. Я не могу придумать, что делать с этой нулевой строкой посередине. Ее никуда не сдвинуть, а удалить тоже нельзя, т.к. будет невозможно найти $x$ соответствующий этой строке. Или же можно? Прошу, помогите, пожалуйста. Не понимаю, что делать.

[Schrodinger's cat]

Нужно апгрейдить метод Гаусса выбором ведущего (максимального по модулю) элемента.
Находите максимальный по модулю элемент и меняйте текущую строку с найденной (содержащей этот элемент).

[Euler-Maskerony]

Schrodinger's cat в сообщении #1573200 писал(а):

Нужно апгрейдить метод Гаусса выбором ведущего (максимального по модулю) элемента.

Что это значит и как это сделать и будет ли это 100% работать?

[Schrodinger's cat]

На PLU факторизацию советую глянуть, матрица перестановок P как раз таким образом и появляется.