krum, подскажите, пожалуйста, как решается эта интересная задача. Вот мои интуитивные попытки.
Пусть

. Из

следует, что
1) поле

не имеет особых точек в

, т.к. в особой точке будет

;
2) интегральные кривые

в

не могут быть замкнутыми, иначе при обходе кривой функция

не вернётся к исходному значению.
Что меня смущает: те же следствия получались бы из более простого условия

, но Вы задали именно

.
Доказать, что векторное поле

не имеет нетривиального (не равного тождественно константе) первого интеграла

, для которого

являлась бы поверхностью уровня.
Пусть такой первый интеграл есть, тогда

касательно к

. В этом нет ничего страшного: например, на плоскости с полярными координатами поле

имеет первый интеграл

, для которого граница круга

будет поверхностью уровня.
Может, надо рассуждать так? Раз

не константа и

— поверхность уровня

, у

будет точка экстремума в

, где

должно обратиться в нуль, вопреки сказанному выше.