2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторное поле
Сообщение26.11.2022, 21:59 
Аватара пользователя


11/11/22
304
$D\subset\mathbb{R}^m$ - ограниченная область; $v(x)\in C^1(D)\cap C(\overline D)$ - векторное поле. Известно, что существует функция $\varphi\in C^2(D)\cap C(\overline D)$ такая, что
$L_vL_v \varphi>0$ в $D$ ($L_v$ - проищводная Ли.)
Доказать, что векторное поле $v$ не имеет нетривиального (не равного тождественно константе) первого интеграла $f\in C^2(D)\cap C(\overline D)$, для которого $\partial D$ являлась бы поверхностью уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле
Сообщение22.01.2023, 00:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
krum, подскажите, пожалуйста, как решается эта интересная задача. Вот мои интуитивные попытки.

Пусть $\psi=L_v \varphi$. Из $L_v\psi>0$ следует, что
1) поле $v$ не имеет особых точек в $D$, т.к. в особой точке будет $L_v\psi=0$;
2) интегральные кривые $v$ в $D$ не могут быть замкнутыми, иначе при обходе кривой функция $\psi$ не вернётся к исходному значению.
Что меня смущает: те же следствия получались бы из более простого условия $L_v\varphi>0$, но Вы задали именно $L_vL_v\varphi>0$.

krum в сообщении #1571579 писал(а):
Доказать, что векторное поле $v$ не имеет нетривиального (не равного тождественно константе) первого интеграла $f\in C^2(D)\cap C(\overline D)$, для которого $\partial D$ являлась бы поверхностью уровня.
Пусть такой первый интеграл есть, тогда $v$ касательно к $\partial D$. В этом нет ничего страшного: например, на плоскости с полярными координатами поле $v=\partial_\varphi$ имеет первый интеграл $f=r$, для которого граница круга $r \leqslant a$ будет поверхностью уровня.

Может, надо рассуждать так? Раз $f$ не константа и $\partial D$ — поверхность уровня $f$, у $f$ будет точка экстремума в $D$, где $v$ должно обратиться в нуль, вопреки сказанному выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле
Сообщение22.01.2023, 10:55 
Аватара пользователя


11/11/22
304
svv в сообщении #1578241 писал(а):
как решается эта интересная задача

не такая интересная, как я поначалу подумал, увы. на стр 2 решение
https://files.catbox.moe/1rhv5w.pdf

-- 22.01.2023, 11:05 --

по-моему, Вы эту задачу решили

-- 22.01.2023, 11:08 --

svv в сообщении #1578241 писал(а):
аз $f$ не константа и $\partial D$ — поверхность уровня $f$, у $f$ будет точка экстремума в $D$, где $v$ должно обратиться в нуль,

вот тут нюансы, если , например, максимум строгий, тогда конечно, если нет -- надо ковыряться

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле
Сообщение22.01.2023, 16:11 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group