Число
![$101$ $101$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/8/41808f0887adb69b7bf59c1bfe8ad21d82.png)
простое, следовательно числа
![$100!$ $100!$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0a84f870f5f8bb3fa97d01cce7dc2f182.png)
и
![$101$ $101$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/8/41808f0887adb69b7bf59c1bfe8ad21d82.png)
взаимно простые.
Что интересно... Ведь это для любого количества слагаемых работает.
То есть для наперед заданного
![$K\ge3$ $K\ge3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e62e975447f2e470f864e1f7fdc3cf182.png)
мы можем для каждого
![$k: 2\le{k}<K$ $k: 2\le{k}<K$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226ad6edda7165392e048ecd9a169dd682.png)
выбрать числа
![$b_2, ..., b_K$ $b_2, ..., b_K$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/9/b9973e5530a66fdfa341bc936e8e1d2c82.png)
, чтобы получить соответствующие равенства. Дело в том, что всегда
![$\ast$ $\ast$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/457fa9db3eb0739310d5ed0f01f8d65d82.png)
существует простое
![$p\le{K}$ $p\le{K}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d738b1a5d7119bfab9ff5e58798c5d082.png)
такое, что
![${K!}\over{p}$ ${K!}\over{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/d/7ed7f558e8eb16646cad5b565713ace082.png)
взаимно просто с
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
.
Ну а далее повторяем доказательство, используя вместо
![$100!$ $100!$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0a84f870f5f8bb3fa97d01cce7dc2f182.png)
выражение
![${K!}\over{p}$ ${K!}\over{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/d/7ed7f558e8eb16646cad5b565713ace082.png)
(а лучше - НОК всех чисел от
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
до
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
за исключением
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
), а на место
![$101$ $101$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/8/41808f0887adb69b7bf59c1bfe8ad21d82.png)
подставляя
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
.
![$\ast$ $\ast$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/457fa9db3eb0739310d5ed0f01f8d65d82.png)
утверждение не очевидное, но оно следует из того, что между
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
всегда найдется простое. Если
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
- простое, просто берем
![$p=K$ $p=K$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfd07753668d2ff24b48d4864a4c0a3b82.png)
.
Иначе: если
![$K=2N$ $K=2N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/0/6d0be0e4301bf2bddb31d7c115f99bb282.png)
, берем простое
![$N<p<2N=K$ $N<p<2N=K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/a/5ca9e946d5654d77b1167b55a7efd48f82.png)
. Если
![$K=2N+1$ $K=2N+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/3438d35de2b4fe896af3e0d518b8bc2282.png)
, берем простое
![$N+1<p<2N+2=K+1$ $N+1<p<2N+2=K+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/a/b5a702dcca3b4f6560ebd8cbdc0a2df482.png)
(но
![$2N+1$ $2N+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/c/c5c1ab3f09b11d18b76801211cb4086c82.png)
заведомо составное, поэтому
![$p<K$ $p<K$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f0227add04c8396cf40a3f84b630e4d82.png)
). Видно, что
![$2p>K$ $2p>K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/3/1a347091ea44122e1202ca08c7869eb982.png)
, поэтому в разложении
![$K!$ $K!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/9/d09a4d8233ada8337a8b8b9b33df308882.png)
множитель
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
встретится только один раз.
Работает уже для
![$K=3$ $K=3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a505378918e661339ef7c6c37424c0b82.png)
(пусть это и тривиальный случай): ищем
![$a^2=b^3$ $a^2=b^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/8/0b8897f6b09b3419a3cf7a1e5f94fc2b82.png)
, тогда просто берем
![$L=a^2$ $L=a^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/7/cc7141be9a06e40b1f6db65c198318ad82.png)
. Уравнение
![$2!c+1=3d$ $2!c+1=3d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/a/56a9336b73acbca1295f0e19b8a2143082.png)
решается
![$c=d=1$ $c=d=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/3/6733dbc22ffac94bc686611de070a4ff82.png)
, домножаем
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
на
![$L^2$ $L^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e8831293b846e3a3799cd6a02e4a0cd982.png)
:
![$$L^2\cdot a^2=(La)^2=L\cdot L^2=L^3$$ $$L^2\cdot a^2=(La)^2=L\cdot L^2=L^3$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/f/b6ff6fad1394605a84a7764a471591bd82.png)
Явно подставляя
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
, получаем, ответ, очевидный изначально:
![$(a^3)^2=(a^2)^3$ $(a^3)^2=(a^2)^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/f/55f47d2e50c970b881e10b39a6929f4582.png)
.
Для
![$K=4$ $K=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/c/45c37e84839eee54b272f94890dfc87a82.png)
будет
![$p=3$ $p=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/c/39cd1e5f222b0b87f4a26f8b97296bd282.png)
:
![$L=a^2-c^4$ $L=a^2-c^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1da0874dbbe6a72731bc71ae787a1982.png)
(в данном случае его можно считать и отрицательным; в зависимости от того, что больше,
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
или
![$c^2$ $c^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/9/839f28135f93f662e1627010f463359282.png)
, получится одно из искомых равенств), НОК двойки и четверки равен 4, поэтому получаем уравнение
![$4x+1=3y$ $4x+1=3y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/c/96c9ec9c6ffffb7e6e2735a0c507273682.png)
. Например, решением будет
![$x=2, y=3$ $x=2, y=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/6/e06082a8da5d9c7df00fa2e2c403b5a582.png)
.
Тогда домножаем на
![$L^8$ $L^8$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a03571709864d2f65643cf87a962418f82.png)
:
![$$L^8a^2-L^8c^4=(L^4a)^2-(L^2c)^4=L\cdot L^8=(L^3)^3$$ $$L^8a^2-L^8c^4=(L^4a)^2-(L^2c)^4=L\cdot L^8=(L^3)^3$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/f/37fedba5093c40d04e92a69ed148f9c482.png)
То есть, для всех пар натуральных
![$\{a, c\}, a^2\ne c$ $\{a, c\}, a^2\ne c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/8/598b81dfa11415dee7dbdffa9347a89b82.png)
:
Если
![$a>c^2$ $a>c^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/0/9401d2fe22ba88146e1f0e4ba135cc9882.png)
запишем выражение
![$\left(a(a^2-c^4)^4\right)^2=\left((a^2-c^4)^3\right)^3+\left(c(a^2-c^4)^2\right)^4$ $\left(a(a^2-c^4)^4\right)^2=\left((a^2-c^4)^3\right)^3+\left(c(a^2-c^4)^2\right)^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/9/2e9464b8ee866a2ce6baaa351fad046082.png)
Если
![$a<c^2$ $a<c^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/f/01f117394b1289c4adf8f46999fd7a4282.png)
- выражение
![$\left(a(c^4-a^2)^4\right)^2+\left((c^4-a^2)^3\right)^3=\left(c(c^4-a^2)^2\right)^4$ $\left(a(c^4-a^2)^4\right)^2+\left((c^4-a^2)^3\right)^3=\left(c(c^4-a^2)^2\right)^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea1ddc4140100f6e2447ef6bc10c7e4282.png)
Ну и можно продолжить: для всех
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
найдется неограниченное количество "семейств" таких равенств.
И это не считая "внесистемных" вроде, для
![$K=4$ $K=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/c/45c37e84839eee54b272f94890dfc87a82.png)
:
![$28^2=8^3+6^4, 29^2+6^3=5^4$ $28^2=8^3+6^4, 29^2+6^3=5^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/a/a0a246bd4d18368cbd22dbaf0c57ff1082.png)
и т.д.