Школьная олимпиадная задача из Австралии

[Dendr]

Больше того... Если ничего не напутал, то уравнение

$$b_2^2\pm b_3^3\pm... \pm b_K^K=0$$

имеет натуральные решения при любом $K\ge3$ и любой, наперед заданной, расстановке плюсов и минусов.

Тогда условие исходной задачи - частный случай этой.

[Klein]

Dendr в сообщении #1570925 писал(а):

То есть для наперед заданного $K\ge3$ мы можем для каждого $k: 2\le{k}<K$ выбрать числа $b_2, ..., b_K$, чтобы получить соответствующие равенства. Дело в том, что всегда$\ast$ существует простое $p\le{K}$ такое, что ${K!}\over{p}$ взаимно просто с $p$.
...
$\ast$ утверждение не очевидное, но оно следует из того, что между $n$ и $2n$ всегда найдется простое. Если $K$ - простое, просто берем $p=K$.
Иначе: если $K=2N$, берем простое $N<p<2N=K$. Если $K=2N+1$, берем простое $N+1<p<2N+2=K+1$ (но $2N+1$ заведомо составное, поэтому $p<K$). Видно, что $2p>K$, поэтому в разложении $K!$ множитель $p$ встретится только один раз.

Dendr

Спасибо за решение при любом $K \geq 3$ и $k: 2\le{k}<K$. На мой взгляд условие с частным случаем было достаточно сложным для школьников. Насколько я знаю для каждой задачи не более часа было отведено.