Обсуждение книги "Как решают нестандартные задачи"

[Rasool]

Решение нестандартных математических задач нестандартными методами (например, описанными в книге А. Я. Канель-Белова, А. К. Ковальджи "Как решают нестандартные задачи") не делает ли эти методы после их открытия и повсеместного применения в свою очередь уже стандартными? Насколько я понял, задача ученого исследователя - открытие/изобретение как раз этих методов, когда до него о них не было еще ничего известно?

[ozheredov]

Rasool в сообщении #1569656 писал(а):

методы

Нет никаких методов -- есть собрание рецептов, жестко привязанных к чрезвычайно редким "счастливым" особенностям таких же редких частных случаев. Т.е., шарлатанство плюс хайп наподобие ТРИЗ. Если ТРИЗ предназначен для здоровых дядей, которые по идее достаточно взрослые, чтоб отличать хорошее от плохого плохое от очень плохого (а нет -- так сами виноваты), то данная система предназначена для детей, которые по определению не понимают, как устроена реальность и легко ведутся на заранее подготовленные "фокусы", как в фильмах про супергероев. Рассмотрим детально пример:

Rasool в сообщении #1568522 писал(а):

Пример 1. Каждый ученик класса ходил хотя бы в один из двух походов. В каждом походе мальчиков было не больше 2/5. Докажите, что во всём классе мальчиков не больше 4/7.

Что пишут авторы учебника:

svv в сообщении #1568528 писал(а):

«Лобовое» решение состоит в рассмотрении количеств мальчиков, ходивших только в первый поход, ходивших только во второй поход, ходивших в оба похода, то же для девочек, составлении и решении системы уравнений и неравенств.

Ага, именно так. А что, есть варианты?

Rasool в сообщении #1568522 писал(а):

Этого делать не хочется

Ну, тогда давайте пойдем торговать овощами. Но торговать овощами видимо хочется еще меньше, поэтому авторы придумывают такой лютый бред из пятидесяти шагов, что лично мои глаза опнули, а мозг вытек из ушей. Ради эксперимента я взял ручку и бумажку и за 30сек накропал следующее:

Обозначим число женщин (females) за $f_0$, мужчин (males) за $m_0$. Соответственно, за $f_i$ и $m_i$ -- тех, кто ходил в $i$-тый поход. Тогда:

$$\frac{m_i}{m_i+f_i}\leq\frac{2}{5}$$

$$f_1+f_2\leq2f_0$$

$$m_1+m_2 \geq m_0$$

Из первого неравенства получаем, что $m_i\leq\frac{2}{3}f_i$, откуда следует цепочка

$$\frac{2}{3}m_0\leq\frac{2}{3}m_1+\frac{2}{3}m_2 \leq f_1+f_2 \leq 2f_0$$

, откуда

$$\frac{f_0}{m_0} \geq \frac{3}{4}$$

Если для доли мальчиков имеет место оценка сверху $a$, то

$$\frac{m_0}{f_0 + m_0} \leq a$$

$$\frac{f_0 + m_0}{m_0} \geq \frac{1}{a}$$

$$1 + \frac{f_0}{m_0} \geq \frac{1}{a}$$

и значит обратная оценка сверху равна

$$\frac{1}{a} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$

откуда $a = \frac{4}{7}$.

Все. Никаких шагов, причесываний и поглаживаний.

P.S. Все это я пишу не для того, чтобы донести до..., как решаются задачи для детского сада, а для снятия претензии к голословности заявления.

[мат-ламер]

Интересный ход мысли. Задачу:

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

Пример 1. Каждый ученик класса ходил хотя бы в один из двух походов. В каждом походе мальчиков было не больше 2/5. Докажите, что во всём классе мальчиков не больше 4/7.

Я решал так. Максимальная доля мальчиков в классе достигается, если: 1) В каждом походе доля мальчиков $2 \slash 5$; 2) Каждая девочка сходила в оба похода; 3) Каждый мальчик сходил только в один поход. Отсюда сразу следует ответ $4 \slash 7$ .

Есть ли в моём рассуждении какие-то методы? Не знаю. Элементарные логические рассуждения есть. Они касаются вопросов, при каких условиях некая функция должна достигать максимума. Сейчас посмотрю, как задача решается в книге.

-- Вс ноя 13, 2022 19:13:13 --

мат-ламер в сообщении #1569920 писал(а):

Сейчас посмотрю, как задача решается в книге.

Посмотрел и нашёл, что решал примерно, как и в книге. Хотя там много больше слов. В книге основной метод - многошаговое последовательное упрощение задачи. У меня этого нет.

[Rasool]

Слабому ученику математики есть вариант просмотреть условия задач Задачника Кванта и варианты их решения, которые публикуются через несколько месяц и вывести таким образом эмпирически способы решения "нестандартных" задач.

[ozheredov]

мат-ламер в сообщении #1569920 писал(а):

Максимальная доля мальчиков в классе достигается, если: 1) В каждом походе доля мальчиков $2 \slash 5$; 2) Каждая девочка сходила в оба похода;

Все правильно -- Вы разогнали по углам мои второе и третье неравенства, а обоснованием Ваших рассуждений служит то, что для нахождения верхней границы нам нужно максимизировать числитель и минимизировать знаменатель правой части (6) (считать сверху вниз )) ). Собственно, вот это:

мат-ламер в сообщении #1569920 писал(а):

при каких условиях некая функция должна достигать максимума

мат-ламер в сообщении #1569920 писал(а):

В книге основной метод - многошаговое последовательное упрощение задачи.

В книге не обосновывается:

а) в каком именно направлении делаются эти многошаговые шаги, чё мы вообще добиваемся.
б) откуда это направление взялось? Нужно было написать, что нужно искать,

мат-ламер в сообщении #1569920 писал(а):

при каких условиях некая функция должна достигать максимума

в) как получить это направление, т.е. устройство верхних-нижних оценок.

Я что хочу сказать. Все счастливые семьи лайфхаки личностного/профессионального роста похожи друг на друга:

1) Мы хотим похудеть; для этого потребуется бегать по неск. км и ходить в зал; делать этого не хочется, вот волшебная таблетка.
2) Мы хотим денег; для этого нужно воровать становиться полезным нужным людям; делать этого не хочется, вот курсы как заработать на ставках.
3) Мы хотим изобрести фотонную ракету; для этого нужна многолетняя работа кучи институтов, заводов и КБ; делать этого не хочется, вот ТРИЗ.
4) Мы хотим побеждать на мат.олимпиадах; .............................

Странно для меня одно. Ученые и преподаватели умеют прекрасно детектить виды обмана номер 1), 2) и с переменным успехом 3), но Канель-Белов и Ковальджи у них почему-то в авторитетах.

[svv]

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

Что пишут авторы учебника:

svv в сообщении #1568528 писал(а):

«Лобовое» решение состоит в рассмотрении количеств мальчиков, ходивших только в первый поход, ходивших только во второй поход, ходивших в оба похода, то же для девочек, составлении и решении системы уравнений и неравенств.

Скажите, а где я, как автор учебника, могу-таки получить гонорар?

[vpb]

ozheredov в сообщении #1570002 писал(а):

но Канель-Белов и Ковальджи у них почему-то в авторитетах.

Да просто у них всё правильно написано (хоть можно было бы написать побольше и получше), а вам этого видеть, извините, не дано.

[ozheredov]

(svv)

svv в сообщении #1570008 писал(а):

Скажите, а где я, как автор учебника, могу-таки получить гонорар?

Глюк какой-то произошел, извиняюсь, что дернул Вас по ошибке.

vpb в сообщении #1570016 писал(а):

а вам этого видеть, извините, не дано

Я разработал стратегию, как заработать миллиард долларов, не вставая с дивана, а вам этого видеть, извините, не дано.
Я доказал Великую Теорему Ферма, а вам этого видеть, извините, не дано.
Я опроверг СТО, ОТО и ПИХТО, а вам этого видеть, извините, не дано.
Я Есть Абсолют, а вам этого видеть, извините, не дано.

А если я не прав и Вам вдруг, в отличие от меня, дано -- аргументируйте please, что Ковальджи учат именно РЕШАТЬ ЗАДАЧУ, а не разыгрывают спектакль с поиском рояля в кустах, который предварительно был ими туда запрятан. Я имею в виду следующее: так же как в распознавании образов, в обучении ценен алгоритм, обладающий наибольшей обобщающей способностью. Поэтому любые рассуждения, эксплуатирующие особенности КОНКРЕТНОЙ задачи, с моей точки зрения должны отправляться ф топку. Например, когда я видел типа такого: "Заметим, что в полиноме $x^{100500}+x^{100499}+...$ сто двадцатый коэффициент с конца равен "читире", поэтому он немедленно может быть разложен на множители", мои кулаки начинали непроизвольно сжиматься. А если этот коэффициент вообще не целое число, что тогда? Проще говоря, я люблю, когда меня учат быть крутым и могучим, а не натаскивают, как обезьяну, на чудесным образом "ломающиеся" частные случаи.

[мат-ламер]

ozheredov в сообщении #1570020 писал(а):

Поэтому любые рассуждения, эксплуатирующие особенности КОНКРЕТНОЙ задачи, с моей точки зрения должны отправляться ф топку.

Заголовок темы -

Цитата:

Удовольствие от решения задач

На вкус и цвет товарища нет. Может некоторые люди получают удовольствие именно от эксплуатации конкретных особенностей. По крайней мере уголовным кодексом это пока не запрещено.

[ozheredov]

мат-ламер в сообщении #1570028 писал(а):

Может некоторые люди получают удовольствие именно от эксплуатации конкретных особенностей.

Представьте себе, что я продал Вам газонокосилку-триммер, которая во время работы хлещет Вас леской по ногам, и поваренную книгу, стряпня по рецептам которой разорвала Вам микроволновку. На Ваш вопрос "WTF???" я ответил, что все норм, потому как некоторые люди получают удовольствие именно от БДСМ. Более конкретно: книга Ковальджи (почти как книга Джованни, если кто в теме) позиционирует себя как учебник, поэтому к ней (как и к ТРИЗ) идут не за удовольствием, а за навыками. Что касаемо удовольствия, то я скажем люблю читать пургаторий.

мат-ламер в сообщении #1570028 писал(а):

уголовным кодексом это пока не запрещено

, не так ли? Однако почему то пургаторий называется пургаторием, а Ковальджи - нет.

[vpb]

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

шарлатанство плюс хайп наподобие ТРИЗ.

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

то данная система предназначена для детей, которые по определению не понимают, как устроена реальность и легко ведутся на заранее подготовленные "фокусы

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

А что, есть варианты?

Да, конечно! Авторы и объясняют один из. Есть еще проще.

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

авторы придумывают такой лютый бред из пятидесяти шагов, что лично мои глаза опнули, а мозг вытек из ушей.

Обругивание известной книжки, написанной уважаемыми людьми --- это на уровне того, чтобы позвать модераторов, вообще-то...

ozheredov в сообщении #1569916 писал(а):

Все. Никаких шагов, причесываний и поглаживаний.

Да. Получилось нечто весьма громоздкое и неудобоваримое. Понимаете, вы в самом деле не поняли того, что в книжке написано ! Правда, там и написано про это не лучшим образом...

-- 15.11.2022, 00:35 --

ozheredov в сообщении #1570020 писал(а):

Я разработал стратегию, как заработать миллиард долларов, не вставая с дивана, а вам этого видеть, извините, не дано.
Я доказал Великую Теорему Ферма, а вам этого видеть, извините, не дано.
Я опроверг СТО, ОТО и ПИХТО, а вам этого видеть, извините, не дано.

Ну, это всё гипотетические ситуации (которые, даже реализуйся они в реальности, меня абсолюно не поколышут (поэтому вам, кстати, тут и извиняться не за что)), а вот ваши трудности с пониманием того, что написано в Белове --- вполне реальны.

[ozheredov]

Все, что я написал — субъективное мнение на настоящий момент, которое я с удовольствием поменяю, как только появится соответствующая информация.

vpb в сообщении #1570039 писал(а):

Понимаете, вы в самом деле не поняли того, что в книжке написано !

Может быть.

vpb в сообщении #1570039 писал(а):

Получилось нечто весьма громоздкое и неудобоваримое.

В задаче шесть параметров. Я написал соотношения между ними и получил из них ответ. Я что-то сделал не так?

vpb в сообщении #1570039 писал(а):

Правда, там и написано про это не лучшим образом...

Напишите. Мне бы ещё убедить Вас как-нибудь, что написать я прошу не ради спора, а теперь уже мне реально интересно что у Вас за подход, дающий сверх-короткое решение.

[vpb]

Решается очень просто. В походе было не более $2/5$ мальчиков, поэтому в походе было мальчиков не более чем $2/3$ от числа девочек. И тем более не более чем $2/3$ от общего числа девочек в классе. Учитывая, что каждый из мальчиков ходил хотя бы в один из двух походов, ясно, что всего число мальчиков в классе не более, чем $4/3$ от числа девочек. Значит, всего в классе человек не более чем $7/3$ от числа девочек. А значит, девочек в классе не менее, чем $3/7$ от общего числа учеников. А значит мальчиков не более чем $4/7$, что и требовалось. Вот и всё.

Применять здесь принцип перехода к частному случаю ("без ограничения общности можно считать, что...") даже и в голову и не пришло. Только потом про это в книжке прочитал. Писать трехэтажные формулы --- тем более. (Со стороны авторов неудачно, что они взялись объяснять принцип ограничения ситуации на такой простой задаче, где он не нужен на самом деле. Ну, не заметили, бывает.)

ozheredov в сообщении #1570020 писал(а):

аргументируйте please, что Ковальджи учат именно РЕШАТЬ

Пожалуйста. Человек, который весьма хорошо разбирается в математике (что только что мы видели), и уже четыре десятка лет этой самой математикой занимается, причем довольно успешно, говорит вам, что Белов-Ковальджи --- хорошая, годная книжка, которая действительно учит решать задачи. Если вам этого аргумента не достаточно --- это уже ваши проблемы.

(Пока что я эту тему покину.)

[ozheredov]

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

В походе было не более $2/5$ мальчиков, поэтому в походе было мальчиков не более чем $2/3$ от числа девочек. И тем более не более чем $2/3$ от общего числа девочек в классе. Учитывая, что каждый из мальчиков ходил хотя бы в один из двух походов, ясно, что всего число мальчиков в классе не более, чем $4/3$ от числа девочек. Значит, всего в классе человек не более чем $7/3$ от числа девочек. А значит, девочек в классе не менее, чем $3/7$ от общего числа учеников. А значит мальчиков не более чем $4/7$, что и требовалось. Вот и всё.

Замечательно, только данная цепочка рассуждений отыскивается за разумное время исключительно

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

на такой простой задаче

Стоит добавить несколько "игроков" в условие, и Вы будете вынуждены

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

Писать трехэтажные формулы

(на самом деле двух-)

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

Применять здесь принцип перехода к частному случаю ("без ограничения общности можно считать, что...") даже и в голову и не пришло.

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

Со стороны авторов неудачно, что они взялись объяснять принцип ограничения ситуации на такой простой задаче, где он не нужен на самом деле. Ну, не заметили, бывает.

По основному вопросу мы пришли к консенсусу -- "обкусывание веточек" у задачи, которым занимается Белов и Ковальджи -- плохо. Вам эти господа нравятся, поэтому для Вас это "ну, бывает". Мне -- категорически нет, поэтому для меня это то, что...... короче, меня прорвало (см. выше).

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

Человек, который весьма хорошо разбирается в математике (что только что мы видели)

Не видели. Ни я, ни Вы:

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

Со стороны авторов неудачно, что они взялись объяснять принцип ограничения ситуации на такой простой задаче, где он не нужен на самом деле.

vpb в сообщении #1570133 писал(а):

уже четыре десятка лет этой самой математикой занимается, причем довольно успешно

О, вот это уже по делу. Если у чела большой Хирш, куча грантов и т.п. -- перед ним по определению нужно делать три раза "ку". Ну, а если он .... , ну, с кем не бывает. Попробуйте перенести эти рассуждения каких-нибудь снимательниц порчи в интернете -- они тоже давно работают, и очень успешно. (Вместо Хирша там другой критерий успешности, гораздо более осязаемый).

[EUgeneUS]

ozheredov в сообщении #1570020 писал(а):

Например, когда я видел типа такого: "Заметим, что в полиноме $x^{100500}+x^{100499}+...$ сто двадцатый коэффициент с конца равен "читире", поэтому он немедленно может быть разложен на множители", мои кулаки начинали непроизвольно сжиматься. А если этот коэффициент вообще не целое число, что тогда? Проще говоря, я люблю, когда меня учат быть крутым и могучим, а не натаскивают, как обезьяну, на чудесным образом "ломающиеся" частные случаи.

А у меня "сжимаются кулаки", когда читаю такие утверждения.

Вот, например:

Цитата:

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[8]

и ничего у Вас в этой теме не остаётся, кроме "чудесным образом "ломающихся" частных случаев". И что стало с "крутизной и могуществом"?

-- 16.11.2022, 19:56 --

Или вот:

Цитата:

В средневековой Европе изопериметрическими задачами занимались И. Сакробоско (XIII век) и Т. Брадвардин (XIV век). После разработки анализа появились новые типы вариационных задач, в основном механического характера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) решает задачу: найти форму тела вращения, обеспечивающую наименьшее сопротивление при движении в газе или жидкости (при заданных размерах). Важной исторической задачей, давшей толчок к развитию современного варианта вариационного исчисления, стала задача о брахистохроне (1696). Её быстрое решение сразу несколькими математиками показало огромные возможности новых методов. Среди других задач стоит отметить определение формы цепной линии (то есть формы равновесия тяжёлой однородной нити, 1690 год). Общих методов решения вариационных задач в этот период ещё не существовало, каждая задача решалась с помощью остроумных (и не всегда безупречных) геометрических рассуждений.

То есть рассмотрение "чудесным образом "ломающихся" частных случаев" (каждая задача решалась с помощью остроумных (и не всегда безупречных) геометрических рассуждений), в конце концов привело к обобщению и мощным методам вариационного исчисления.