2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка суммы ряда
Сообщение11.11.2022, 08:27 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Здравствуйте. Есть ряд $S(n)$ и его ассимптотика ($p_i$ - $i$-ое простое число):
$\ln{S(n)} = \ln \prod \frac{p_i - 2}{p_i} = \sum \ln \left(1 - \frac{2}{p_i}\right) = \sum-\frac{2}{p_i} + \frac{f(i)}{p_i^2} = -2 \ln \ln n + g(n)$, где $f(i)$ и $g(n)$ ограничены.
Нужно найти знак: $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{(\ln{n})^2} - S(n)$
Я могу попробовать написать программу, которая найдет разность при $n\approx 10^{12}$, но не факт, что знак определится так скоро. Я знаю, что эта разность уменьшается, но понятия не имею как найти ее конечный знак. Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы ряда
Сообщение11.11.2022, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
В википедии написано, что $|\sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \log \log n - M| \leq \frac{4}{\ln (n + 1)} + \frac{2}{n \ln n}$, где $M > 0.26$. Теперь если оценить снизу еще и логарифм (через остаточный член в форме Лагранжа, например), то вроде бы получается, что нам не так уж много членов нужно взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы ряда
Сообщение11.11.2022, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
У Вас первый сомножитель $1-\frac{2}{p_1}=0$. Если его отбросить, то можно оценить грубо через третью теорему Мертенса:
$$\prod_{2<p\leqslant x}\left(1-\frac{2}{p}\right)<\frac{3}{4}\cdot\frac{15}{16}\cdot4\prod_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^2<\frac{3\mathrm{e}^{-2\gamma}}{(\ln x)^2},$$
так что для больших $n$ верно $S(n)<\dfrac{3\mathrm{e}^{-2\gamma}}{(\ln n)^2}<\dfrac{1}{(\ln n)^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы ряда
Сообщение11.11.2022, 17:34 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569720 писал(а):
У Вас первый сомножитель $1-\frac{2}{p_1}=0$. Если его отбросить, то можно оценить грубо через третью теорему Мертенса:
$$\prod_{2<p\leqslant x}\left(1-\frac{2}{p}\right)<\frac{3}{4}\cdot\frac{15}{16}\cdot4\prod_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^2<\frac{3\mathrm{e}^{-2\gamma}}{(\ln x)^2},$$
так что для больших $n$ верно $S(n)<\dfrac{3\mathrm{e}^{-2\gamma}}{(\ln n)^2}<\dfrac{1}{(\ln n)^2}$.

Ого. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы ряда
Сообщение11.11.2022, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для полноты картины: точное значение предела
$$\lim_{n\to\infty}(\ln n)^2\prod_{i=2}^{n}\left(1-\frac{2}{p}\right)=\lim_{n\to\infty}(\ln p_n)^2\prod_{i=2}^{n}\left(1-\frac{2}{p}\right)=4\mathrm{C}_2\mathrm{e}^{-2\gamma}=0.832429\dotso,$$
где $\mathrm{C}_2$ — постоянная простых близнецов, $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group