К определению логарифма

[Neqyau]

Верно ли,что $\log_x x=1$ при любом $x\in \mathbb{R}, x\neq 0$ ?

[Brukvalub]

Neqyau писал(а):

Верно ли,что $\log_x x=1$ при любом $x\in \mathbb{R}, x\neq 0$ ?

Нет.

[ewert]

Neqyau писал(а):

Верно ли,что $\log_x x=1$ при любом $x\in \mathbb{R}, x\neq 0$ ?

Вопрос интересный. Конечно, $\log_x x=1$ при любом $x\ne1$, что вроде как даёт основание распространить это утверждение и на единичку. Однако беда в том, что логарифмы приходится рассматривать, вообще говоря, при различающихся основаниях и аргументах; и тут единичка в основании совсем некстати, а потому и запрещена. Если же говорить о предельных переходах вблизи той самой единички -- то с какой стати основание должно быть именно равно аргументу? -- это очень частный случай, и практически очень мало интересен.

[Brukvalub]

Пора задать вопрос ребром: мы говорим в рамках ТФКП, или в рамках элементарной математики?

[ewert]

не знаю. Лично я, в данном случае -- в рамках полуэлементарной математики. Ибо никуда не деться от вопроса: а что, собссно, есть логарифм? (пусть даже и вещественный)

[Brukvalub]

ewert писал(а):

не знаю. Лично я, в данном случае -- в рамках полуэлементарной математики. Ибо никуда не деться от вопроса: а что, собссно, есть логарифм? (пусть даже и вещественный)

Если речь идет об элементарной математике, то меня Марьванна учила, что функция

\[ \log _a b \]

определена только при

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a > 0} \\ {a \ne 1} \\ {b > 0} \\ \end{array}} \right. \]

и тогда у вас, ewert, видимо,рассматривается какой-то особый, военно-морской логарифм...

[ewert]

а Вы в курсе, как определяется вообще показательная функция (для вещественного аргументу)? -- вопрос совсем не так чтоб совсем элементарен, с точки зрения элементарной математики

[Brukvalub]

ewert писал(а):

а Вы в курсе, как определяется вообще показательная функция (для вещественного аргументу)? -- вопрос совсем не так чтоб совсем элементарен, с точки зрения элементарной математики

С гордостью признаюсь - я даже определение синуса в конце второго курса мех-мата МГУ Асилил... Только какое отношение все это имеет к обсуждаемой теме про логарифм?

[Neqyau]

Brukvalub писал(а):

Если речь идет об элементарной математике, то меня Марьванна учила ... и тогда у вас, ewert, видимо,рассматривается какой-то особый, военно-морской логарифм...

Уберем слово "элементарной". Вот, как раз, Марьванне и нужно пояснить, что $\log_x x=1$ при $x\in \mathbb{R},~ x\neq 0,1$. (ewert, да $x\neq 1$ - нехорошо)

[Brukvalub]

Neqyau писал(а):

Уберем слово "элементарной". Вот, как раз, Марьванне и нужно пояснить, что $\log_x x=1$ при $x\in \mathbb{R},~ x\neq 0,1$. (ewert, да $x\neq 1$ - нехорошо)

Тогда берем учебник по ТФКП (например, я люблю вот этот: Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. — Лекции по теории функций комплексного переменного ) и тыкаем Марьванну носом в определение логарифма из этого учебника.

[RIP]

Brukvalub писал(а):

Neqyau писал(а):

Уберем слово "элементарной". Вот, как раз, Марьванне и нужно пояснить, что $\log_x x=1$ при $x\in \mathbb{R},~ x\neq 0,1$. (ewert, да $x\neq 1$ - нехорошо)

Тогда берем учебник по ТФКП (например, я люблю вот этот: Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. — Лекции по теории функций комплексного переменного ) и тыкаем Марьванну носом в определение логарифма из этого учебника.

Правда, конкретно в этом учебнике вводится только натуральный логарифм (по крайней мере, других я не нашёл, но особо не искал). И вообще, если говорить в рамках ТФКП, то $\log_xx$ — многозначная функция, принимающая при каждом $x\ne0$ бесконечное число значений.

[ewert]

тыкать Марьванну носом в ТФКП нехорошо -- она обидится и совершенно правильно сделает. Ибо не в ТФКП тут дело.

[Neqyau]

Brukvalub писал(а):

Тогда берем учебник по ТФКП ... и тыкаем Марьванну носом в определение логарифма.

Brukvalub, спасибо. Тыкать будем в этот топик. (эх, ЕГЭ тормозит не только школьников)

[Brukvalub]

ewert писал(а):

тыкать Марьванну носом в ТФКП нехорошо -- она обидится и совершенно правильно сделает. Ибо не в ТФКП тут дело.

Есть "школьное" определение логарифма, про область определения такого логарифма я писал. Есть определение логарифма из ТФКП, там допустимы логарифмы отрицательных действительных чисел. Безусловно, RIP прав, когда пишет о многозначности логарифма из ТФКП, я лишь утверждаю, что обсуждаемое равенство будет верным в рамках определения логарифма из ТФКП. А про что говорит
ewert, все время намекая на какой-то секретный смысл логарифма в рамках "полуэлементарной" математики - мне неведомо.

[ewert]

Элементарно, Ватсон. Логарифм по любому определению (хоть тээфкапешному, хоть элементарному) -- это функция, обратная к соответствующей показательной. Настолько, насколько это возможно.

А возможно хоть насколько-то это лишь тогда, когда та (показательная) функция ну хоть в каком-то смысле взаимно-однозначна. Ну хоть какой своей веточкой.

Ну так при единичном иксе в основании это ни в каком смысле не так. Вот и вся любовь.

Совершенно не понимаю, к чему тут ещё какая-то дополнительная лирика.