Как обосновать математику и как ей учиться?

[Denissimo]

Решение задач lel0lel. Не уверен, нужно ли мне это... Ради приличия:D

1) Один из корней находим подбором, пусть $3$. Делим столбиком многочлен на $x-3$ (теорема Безу) или пользуемся схемой Горнера. Квадратный трёхчлен легко раскладывается на произведение биномов. В конечном счёте получим неравенство $(x-3)^2(x+7)\geq 0$. Решим методом интервалов:

$$x\in[-7;+\infty).$$

Что касается формулы Кардано... Я разобрался, но ищу универсальную формулу извлечения кубических корней из комплексных чисел. Не спойлерите, позязя).

2) Полагаю, это координаты векторов в пространстве. Тогда бахнем аналитической геометрии и из теоремы косинусов и трёхмерного аналога теоремы Пифагора получим:

$$\cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^3+y_2^2+z_2^2}}.$$

Отсюда $\cos\alpha=\frac{10}{\sqrt{282}}$.
$\alpha\approx53.45°$

3) Выводил неоднократно из интереса. Можно через синус двойного угла или через описанную окружность и подобные треугольники.

$$l_c=\sqrt{ab\left(1-\left(\frac c{a+b}\right)^2\right)}=\frac{2\sqrt{abp(p-c)}}{a+b}$$

.

4) $45°$ и $\arccos{\frac1{2\sqrt2}}\approx69.3°$

5)

$$x\in(-\infty;-3)\cup(19;+\infty)$$

[lel0lel]

Denissimo
Хорошо. Всё похоже на правду, завтра с утра взгляну внимательно, сейчас уже улёгся. Во второй задаче хотелось услышать о скалярном произведении, но и так хорошо.

-- Вт ноя 08, 2022 23:03:11 --

Готовьтесь к новой пятёрке, также можно усложнять. Попробуйте решить 2-3 задачи, предложенных KoppeKToP

[svv]

Denissimo в сообщении #1569389 писал(а):

Один из корней находим подбором, пусть $3$.

Может быть, и подбором, но не совсем лобовым:

Википедия, статья Формулы Виета писал(а):

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

(старший коэффициент равен единице)

[Denissimo]

lel0lel
Спасибо, завтра порешаю. По-ученически благодарен Вам за потраченное время: это дорогого стоит. И да, в числителе — скалярное произведение

-- 09.11.2022, 00:26 --

svv (не понял, как цитировать, а рисковать не хочу)

Это понятно. Так и решал, просто не расписал.

[mustitz]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

1) Основания математики. Хочется построить себе добротную аксиомическую базу. Разбирался в этой теме, но пока без толку.

Ну... мне кажется, что сейчас с развитием всяких CoQ и ко это можно прощупать руками за компом, например, по какой-нить книге типа Logical Foundations

[svv]

(Оффтоп)

Denissimo в сообщении #1569404 писал(а):

не понял, как цитировать

Выделить нужный фрагмент сообщения и нажать кнопку "Вставка" (обязательно ту, что находится в этом же сообщении).
Кстати, у нас есть раздел Тестирование, там можно тренироваться, через 2 дня созданная там тема автоматически удалится.

[Denissimo]

svv
Огромное спасибо!

[ИСН]

lel0lel в сообщении #1569244 писал(а):

Топикстартер в десятом классе. Почему 3-4 года?

Потому что на первых курсах ВУЗа опять-таки не надо ничего выбирать, а надо делать, что говорят. "Студент всегда здоров, студент на всё готов."

[lel0lel]

Проверил, всё верно. Скалярное произведение хотелось увидеть ещё и потому, что оно определяет метрические свойства пространства. Да и задача в таком виде сразу намекает на него.

Как Вы догадываетесь предыдущие задачи соответствовали простому дню. Давайте попробуем решить задачи сложного дня. Ноябрь вообще месяц сложный, как там в стихотворении у Александра Сергеевича:
Уж небо осенью дышало.
Уж реже солнышко блистало.
Короче становился день...

1) $\sin x-3\cos x=-\sqrt 2$
2) В $\Delta ABC$ известно: $\angle A =\pi/3, \angle B =\pi/4$. Найти отношение биссектрис, проведённых из вершин этих углов.
3) В правильной шестиугольной призме высота равна стороне основания, найти множество всевозможных расстояний между диагональю боковой грани и рёбрами призмы.
4) Докажите по индукции, что $\sum_{k=1}^n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
5) В $\Delta ABC$ известно: $\angle A =\alpha, AB=a, BC=b.
(a) При каких условиях на параметры $\alpha,a,b$ такой треугольник существует и единственен? Чему в этом случае равна сторона $AC$?
(b) При каких условиях на параметры треугольника не существует?

-- Ср ноя 09, 2022 13:46:21 --

lel0lel в сообщении #1569448 писал(а):

что $\sum_{k=1}^n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

правильно так:
$\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

[мат-ламер]

ИСН в сообщении #1569441 писал(а):

lel0lel в сообщении #1569244 писал(а):

Топикстартер в десятом классе. Почему 3-4 года?

Потому что на первых курсах ВУЗа опять-таки не надо ничего выбирать, а надо делать, что говорят. "Студент всегда здоров, студент на всё готов."

Когда я учился, мы в конце второго курса выбирали кафедру, на которую хочешь специализироваться. Если сейчас это так, то топик-стартеру уже через три года надо начинать задумываться, а через три с половиной года конкретно думать о выборе своего направления.

[мат-ламер]

Что касается оснований математики, то думаю, что самые начала этих оснований на наивном уровне надо знать. Например, в рамках первой главы учебника Зорича по математическому анализу. Или первых двух глав книги "Введение в общую алгебру" Калужнина. Но Гильберта читать в школе совершенно излишне.

[lel0lel]

lel0lel в сообщении #1569448 писал(а):

найти множество всевозможных расстояний между диагональю боковой грани и рёбрами призмы.

Здесь тоже лучше уточнить, что расстояния между прямыми, на одной лежит диагональ, на другой некоторое ребро.

-- Ср ноя 09, 2022 16:14:40 --

ИСН в сообщении #1569170 писал(а):

На ближайшие 3-4 года единственно важный вопрос - это выбор ВУЗа, да и тот менее важен, чем кажется (но всё-таки важен).

ИСН в сообщении #1569441 писал(а):

lel0lel в сообщении #1569244 писал(а):

Топикстартер в десятом классе. Почему 3-4 года?

Потому что на первых курсах ВУЗа опять-таки не надо ничего выбирать, а надо делать, что говорят. "Студент всегда здоров, студент на всё готов."

Мне кажется, что одно другому противоречит. Сейчас непросто поступить в хороший вуз. Для этого надо готовиться самостоятельно, если не физмат школа и репетиторы. А хороших вузов по чистой математике не так уж и много, будем говорить, например, о десятке. Так чтобы туда попасть, надо поработать, иначе можно поступить в вуз (не совсем по математике), где до второго курса учатся вычислять производные композиции. Более того, в ЕГЭ есть критерии и их тоже надо изучить и научиться набирать хороший балл. ЕГЭ не посмотрит умный ты или нет, не выполнил критерии -- получай сколько будет.

Вы посоветуйте ТС вуз, в котором есть возможность реализовать свои планы. Например, в котором Вы учились)

[vpb]

Denissimo в сообщении #1569389 писал(а):

ищу универсальную формулу извлечения кубических корней из комплексных чисел. Не спойлерите, позязя).

А нет такой формулы (в смысле, что ее в принципе быть не может). Квадратный корень из $a+bi$ можно выразить через вещественные квадратные радикалы, а для кубического корня --- дулю. Причины этого топологические. Можете почитать в этом направлении книжку В.Б.Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях.

-- 10.11.2022, 00:49 --

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Иногда заряжаюсь дикой мотивацией, но проходит на следующее же утро.

И.Губерман писал(а):

Бывает, проснешься, как птица,
крылатой пружиной на взводе,
и хочется жить и трудиться!
Но к завтраку это проходит.

[мат-ламер]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Как учиться математике? ... Хочу саморазвиваться, чтобы поступить уже со знанием предмета. Да и, как говорил выше, желание жгучее. Но лень. Я не знаю даже... — мотивации нет.

Вы бы написали, как происходит ваша деятельность в области изучения математики? Может не то изучаете? А может не так? Может это вам глубоко не интересно?