Как обосновать математику и как ей учиться?

[Denissimo]

Добрый день (или вечер), уважаемые форумчане! Напишу данное предупреждение здесь, а не в постскриптуме, дабы сразу развеять всякий вопрос, способный появиться у читателя по отношению к оформлению: нижеизложенные вопросы и побудили меня здесь зарегистрироваться; я абсолютный новичок, засим прошу не судить строго. Если ваш взгляд на эстетику оформления идёт вразрез с моим "голым", можете оставить советы, но, пожалуйста, после непосредственно ответа. Спасибо.

Я школьник, 10 класс. Влюблён в математику и горю математикой. В математике нахожу себя, с математикой свяжу профессиональную деятельность. Словом, живу математикой. Не то чтобы брал всерос или считался вундеркиндом... Но мой математический взгляд, как бы нескромно это ни звучало, глубок. Имеются меж тем два "но", мешающие, увы, мне целиком и полностью предать себя любимому занятию. Хотел бы получить советы по ним, чтобы не наступать на грабли и, перенимая опыт более преисполненных в познании, сделать свой учебный путь менее тернистым.

1) Основания математики. Хочется построить себе добротную аксиомическую базу. Разбирался в этой теме, но пока без толку. Область математической логики вообще кажется мне туманной: ну просто не понимаю я, как можно определить, например, что выражение выводимо или доказуемо в данной системе... Так вот... Мне кристально ясно, что универсальных аксиом нет и быть не может: мы так или иначе основываемся на самых простых, метафизических истинах, свойственных всем животным: понятие количества, постулаты Евклида и т.д. Но, когда набрасываю черновичный списочек аксиом, самый осно́вный, на фундаменте которого буду держать всё своё знание, появляются странные недострахи: а вдруг упущу важную аксиому? А вдруг получу противоречие? И прочее. Я стараюсь всегда докопаться до сути, до ядра, до сердцевины. Отчасти это прекрасно: имею глубинные представления и осознаю связи между разными разделами математики. Минусы также имеются: например, тот факт, что число π одинаково для всех окружностей не кажется мне прозрачным. Не могу также связать геометрию элементарную и геометрию аналитическую: для меня это будто два разных мира. Словом, я свожу интуицию к минимуму, стараясь всё обосновать. Это хорошо: смогу писать работы по философии математики и мат. логике. Но надо бы почитать соответственную литературу. Начинал "Основания математики" Гильберта и Бернайса — не хватает базы что ли...
Как-то напустил сумбура. Постараюсь всё связать. Должно основываться на трудах предшественников, но у меня нет времени для изучения монографий по 1000 страниц... А тонкие брошюры не хочу: хочу исчерпывающе... Вероятно, противоречу сам себе Вот...
Что посоветуете, люди? Может, не уделять сейчас этому так много внимания — несколько отдаться интуиции? А в будущем уже изучать труды по основаниям математики, когда свободного времени больше... Или вы знаете хорошую литературу? Мне бы желательно самую базу, для новичка в логике, чтобы всё хорошенько улеглось...

2) Как учиться математике? Собрал себе небольшую библиотеку: анализ, алгебра, элементарная геометрия. Хочу саморазвиваться, чтобы поступить уже со знанием предмета. Да и, как говорил выше, желание жгучее. Но лень. Я не знаю даже... В школе я вынужден заниматься, и получаю громадное удовольствие. А самому — мотивации нет. В учебниках же материал избыточен: нет педагога, который бы любезно предоставил мне самый сок (самое важное), интересно подал и, в случае чего, помог. Хотя есть записи лекций в Интернете... Иногда заряжаюсь дикой мотивацией, но проходит на следующее же утро. Также проблемой является и описанная выше неспособность основать математику. Причём я более чем уверен, что, заставив как-нибудь себя учиться, я погружусь в экстаз. Вопрос лишь в том, как именно это сделать...
Полагаю, мотивация бесконечной не бывает. Не лучше ли заменить её трудолюбием? Составить, скажем, расписание, заниматься... Понятно, необходимы конспекты. А как их делать? В тетрадях — громоздко... Есть у меня идея: сделать на моём пока пустующем сайте Интернет-архив с доказательствами теорем и справочным материалом. Это убийство двух зайцев сразу: как известно, способность изложить тему — показатель полнейшего усвоения оной; иметь под рукой поиск по собственным доказательствам — крайне удобно. Что думаете?

Я прошу не судить строго, если что-то из этого вдруг покажется вам глупым, да... Я прошу также всех и каждого, кто имел опыт решения данных вопросов, кто прошёл через это, кто путём проб и ошибок нащупал приятную тропу к свету, поделитесь этим бесценным опытом. Я буду рад. Со всеми благодарностями, Денис.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика.

[Anton_Peplov]

Направьте все силы на поступление в хороший вуз на математический факультет. Если Вы сейчас в 10-м классе, как раз есть время как следует подготовиться.

В вузе у Вас отпадет большинство сегодняшних проблем: будет мотивация заниматься (задали и спросят), не придется думать о выборе материала (лектор уже подумал).

[lel0lel]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Иногда заряжаюсь дикой мотивацией, но проходит на следующее же утро

Просто решайте в день по 5 задач по математике, простых, сложных, олимпиадных. Каждый день. Если лень побеждает, то решайте в такой день простые. При этом продолжайте изучать школьную программу на хорошем уровне. Пытайтесь решать задачи из ЕГЭ второй части, если они Вам по силам и если не по силам. Не стесняйтесь разбираться в выложенных решениях. Но только запомните -- каждый день.

[ИСН]

Каждый день - это рехнуться можно. Ничего не надо. Учитесь и не парьтесь. На ближайшие 3-4 года единственно важный вопрос - это выбор ВУЗа, да и тот менее важен, чем кажется (но всё-таки важен).

[svv]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Должно основываться на трудах предшественников, но у меня нет времени для изучения монографий по 1000 страниц...

Не обязательно на трудах. На результатах предшественников. А результаты собраны и упорядочены в логическую последовательность в учебниках.

[Doctor Boom]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Что посоветуете, люди?

Посоветую сходить к психологу

[пианист]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Основания математики. Хочется построить себе добротную аксиомическую базу

Не стоит, матлогика узкий и очень специфический раздел, практически не связанный с основной частью математики.
Заниматься ею есть смысл, только если цель стать матлогиком. Иначе это просто потерянное время: в изучении "обычной" математики "основания" ровно ничем не помогают.

[Sender]

Denissimo в сообщении #1569139 писал(а):

Минусы также имеются: например, тот факт, что число π одинаково для всех окружностей не кажется мне прозрачным.

А что скажете насчёт того удивительного факта, что отношение периметра любого квадрата к его стороне равно в точности четырём?

[Anton_Peplov]

ИСН в сообщении #1569170 писал(а):

На ближайшие 3-4 года единственно важный вопрос - это выбор ВУЗа, да и тот менее важен, чем кажется (но всё-таки важен).

Важно еще в него поступить. Я не знаю реальный уровень топикстартера, но "быть умнее всех в классе" и "набирать проходной балл в хороший вуз" - это не всегда одно и то же. Заниматься каждый день, конечно, не обязательно. Но порешать дополнительно задачи, пока они не начнут отскакивать от зубов, будет очень полезно.

И да, Denissimo, предостерегу от иногда встречающейся ошибки. Горите математикой - поступайте именно на математический факультет. В некоторых вузах, например, МГУ, это механико-математический факультет, но там есть отделение математики и отделение механики, так вот нужно на отделение математики. Не надо поступать на что-нибудь инженерное, программистское или в педагогический вуз на учителя математики, потому что "мама сказала, что программистам больше платят", "в моем городе на математиков все равно не учат" или "математика будет и тут". Если захотите стать программистом, это можно сделать и с математическим образованием - с руками отрывают. Если на математиков не учат в Вашем городе - поступайте в другой город (если, конечно, есть материальная возможность учиться вдали от дома). Математика на околоматематической специальности конечно, будет, но не в том объеме, который Вам нужен, и будет много неинтересных Вам предметов, нагоняющих тоску. Хотите стать математиком - учитесь на математика.

пианист в сообщении #1569180 писал(а):

матлогика узкий и очень специфический раздел, практически не связанный с основной частью математики

пианист в сообщении #1569180 писал(а):

в изучении "обычной" математики "основания" ровно ничем не помогают.

Святая истина.

пианист в сообщении #1569180 писал(а):

заниматься ею есть смысл, только если цель стать матлогиком.

И из любопытства:))) Есть такие люди, которым жутко интересно, "почему мы так уверены, что дважды два четыре". Я, например. Не обязательно становиться матлогиком, можно просто проштудировать пару учебников, где будет Та Самая Теорема Геделя (которая на самом деле не одна) и всё такое прочее. Мой любимый - "Математическая логика" Клини плюс что-нибудь по теории алгоритмов.
Но подчеркну еще раз, что все это - для удовлетворения любопытства. Никакой необходимости в этом нет. Подавляющее большинство математиков мало знакомы с основаниями, что не мешает им доказывать теоремы и быть уверенными в своих доказательствах.

[Sender]

Sender в сообщении #1569192 писал(а):

А что скажете насчёт того удивительного факта, что отношение периметра любого квадрата к его стороне равно в точности четырём?

Наверное, лучше сказать не к стороне, а к диаметру вписанной окружности.

[пианист]

Anton_Peplov в сообщении #1569193 писал(а):

И из любопытства:)))

Вы, все-таки, наверное, немножко матлогик :)

Если интересно, конечно. Интерес главная движущая сила. Но тогда, само собой, никакие мнения не будут важны.
Впрочем, так и так мнение автора вопроса о том, что вначале надо "построить себе добротную аксиомическую базу" вряд ли изменится, это очень устойчивая иллюзия.

[zykov]

lel0lel в сообщении #1569144 писал(а):

Но только запомните -- каждый день.

Не, каждый день - слишком.
Про "каждый день" слышал, что для международной мат.олимпиады нужно натаскиватся, решая каждый день 10-15 олимпиадных задач.
Но вообще это плохая идея. Натасканость на олимпиадные задачи не делает из тебя математика.

Что надо, так это регулярно (2-3 раза в неделю) уделять этому время. Читать дополнительные книжки своего уровня за пределами школьной программы, задачи решать (или хотя бы разбирать) повышенной сложности. Вообще, люди ходят во всякие мат.кружки и прочие факультативы. Но вполне можно и самостоятельно заниматься.

[lel0lel]

ИСН в сообщении #1569170 писал(а):

Каждый день - это рехнуться можно.

Это спорно от чего быстрее можно съехать, от систематического решения не всегда сложных задач или от постоянных мыслей об основаниях математики, попытках разбирать тысячестраничные труды по матлогике и чувства своей исключительности.

zykov в сообщении #1569220 писал(а):

Не, каждый день - слишком.
Про "каждый день" слышал, что для международной мат.олимпиады нужно натаскиватся, решая каждый день 10-15 олимпиадных задач.

Не надо по 10-15, я предложил по 5 и не всегда олимпиадных, а тех, которые подходят по уровню. К тому же, если в какой-то день есть математика в школе, и задано достаточно, то можно не решать ежедневную пятёрку.

ИСН в сообщении #1569170 писал(а):

Учитесь и не парьтесь. На ближайшие 3-4 года единственно важный вопрос - это выбор ВУЗа

Топикстартер в десятом классе. Почему 3-4 года?

Вот список задач на сегодня :
1) $x^3+x^2-33x+63\geq 0$
2) найти угол между векторами $\vec{a}=(1,5,7), \vec{b}=(-6,7,3)$
3) вывести формулу для длины биссектрисы через стороны треугольника
4) в правильной треугольной призме высота равна стороне основания, найти множество всевозможных углов между диагональю боковой грани и рёбрами призмы.
5) найти решения $|x-8|>11$

[KoppeKToP]

Самое главное для вас уже написали - это решать задачи разного уровня сложности (сначала отточить базовый уровень - то, что изучают в школе, технику, а затем переходить к более трудным задачам и разбирать олимпиадные сюжеты) и готовиться к поступлению в строго математический вуз. Для начальной проверки хороши задачи, предложенные уважаемым lel0lel. Напишите их решения в эту тему. В качестве олимпиадных очень хороши задачи с ММО: их архив есть на сайте МЦНМО https://mmo.mccme.ru/ ; вообще же ничего не мешает изучать архивы и других олимпиад, скажем, Всероса или межнара. Ну а как промежуточные задачи между вышепредложенными и ММО я бы предложил вам такой список из 10 задач (внутри спойлера). Они чуть посложнее задач lel0lelа, но гораздо проще олимпиадных.

(Оффтоп)

1. В игре <<Стратеги онлайн>> за победу дают либо 7, либо 10 очков, а за поражение снимают 4 очка. Вася набрал 89 очков. За какое наименьшее число игр он мог набрать их?


2. Многочлен $P(x)$ дает при делении на $x-2$ остаток 2, а при делении на $x-3$ --- остаток 3. Какой остаток дает $P(x)$ при делении на $(x-2)(x-3)$?


3. Разложите на множители: а) $x^8-x^4+1$; б) $x^5+x+1$; в) $x^6+x^4-x^2-1$.


4. Известно, что $x^3-y^3 \leqslant 2$. Верно ли, что $x-y \leqslant 2$?


5. Вычислите сумму $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2 q^n $ для $-1<q<1$.

6. а) Вычислите $ \cfrac{1}{x_1^5}+\dfrac{1}{x_2^5}$, где $x_1,x_2$ --- корни уравнения $x^2-3x+1=0$.
б) Вычислите сумму кубов корней уравнения $x^3-3x+1=0$.


7. Решите уравнение ${\displaystyle{x^{x^{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{x}^{\sqrt{x}^{x-1}} }}$


8. Можно ли конечным набором одинаковых шаров закрыть точечный источник света в пространстве? Другими словами, разместить конечное число одинаковых шаров так, чтобы любой луч с началом в точке-источнике пересекал шар из данного набора.


9. Можно ли разбить трехмерное пространство пятью плоскостями на а) 9; б) 16; в) 17 частей?

10. В единичном кубе отметили 9 различных точек. Обязательно ли найдется пара точек на расстоянии менее а) $11/13$; б) $15/17$?