Еще одна придумка вспомнилась из прошлого. Вопрос: может ли один из параметров
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
быть целым квадратом. Вполне:
![$\sqrt{689} \approx \sqrt{4}+\sqrt{588}$ $\sqrt{689} \approx \sqrt{4}+\sqrt{588}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e71bcf311cc29c8af3cb3c34bff599e082.png)
есть решение
![$(1).$ $(1).$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/f/adf4b94a55089bb4e8b2c341cdd6ee2482.png)
Возьмем вместо
![$y \rightarrow Y^2$ $y \rightarrow Y^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/f/0bf128d47b56425ac7cea1284fd5bfc782.png)
и запишем
![$\sqrt{m} \approx \sqrt{x}+Y\ (2)$ $\sqrt{m} \approx \sqrt{x}+Y\ (2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/7/1877fafa6526e5f3deae32af7c1f663282.png)
Тогда
![$x \approx (\sqrt{m}-Y)^2=m+Y^2-2Y\sqrt{m}.$ $x \approx (\sqrt{m}-Y)^2=m+Y^2-2Y\sqrt{m}.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/5/9053aacb187a3f65a316ac6384ad904182.png)
![$m-x+Y^2 \approx 2\sqrt{m} \cdot Y$ $m-x+Y^2 \approx 2\sqrt{m} \cdot Y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/7/7a7991c6c2eca7411fef34ddf54cfd9482.png)
и
![$(m-x+Y^2)^2-4mY^2 \approx 1.$ $(m-x+Y^2)^2-4mY^2 \approx 1.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/9/7c983fb71dc0e4a80324c4bba1ebfd8a82.png)
Получили условного Пелля. Условного, поскольку в правой части нас может интересовать не только единица, но и другие члены последовательности A003658
![$(=R).$ $(=R).$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d64f8356780510a182c70b15f3abb182.png)
А без старшего квадрата и вообще можно бы обойтись (нас в основном интересует
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
), но тогда не вычислить потенциальные
![$R.$ $R.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/e/4deca49d77d7adb3583a2e002c3322de82.png)
Тут уж на выбор. Как компромисс — можно брать числители подходящих дробей по
![$\mod 4m$ $\mod 4m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/e/afe6af988342199ef75381a5d3c6153282.png)
чтобы избежать больших чисел в вычислениях. Я пока буду выписывать знаменатели, т.е. потенциальные игреки. Однако, очень быстро они превысят величину
![$\sqrt{m}$ $\sqrt{m}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e1dd35d193355f1854656b776a023c82.png)
(тому, кто имел дело с Пеллем, объяснять не надо), и что сие значит? А всё просто. Мы же не объяснили процедуре что должно быть больше/меньше чего, и какие знаки брать перед радикалами. В итоге с известного момента получаем решения для некой алгебраической суммы, из которой можно "выбраться", строя последовательности вроде описанных выше. Лучше на примере. Возьмем первые
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
знаков разложения
![$\sqrt{103 \cdot 4} \approx 20,3,2,1,3,1,...$ $\sqrt{103 \cdot 4} \approx 20,3,2,1,3,1,...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02fb3fc1bac05eb620b709bb9079e9ed82.png)
Знаменатели соотв. подходящих дробей (потенциальные игреки) образуют последовательность
![$1,3,7,10,37,47,...$ $1,3,7,10,37,47,...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/f/01fb150e34b780748a9ab7d9fdee34e382.png)
Для нижних приближений годятся четные дроби.
![$10 \approx \sqrt{103}$ $10 \approx \sqrt{103}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/9/e6977c01ae2737c6d2db2fe1ec49efba82.png)
явно не годится, берем следующую четную
![$47,$ $47,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/3/b73210679c27807e5aba33b702cdb43e82.png)
и записываем в последовательность:
![$(\sqrt{103}-47)^2 \approx 1358.$ $(\sqrt{103}-47)^2 \approx 1358.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/4/7741c0766a537e44c72c017beb84c52682.png)
![$(\sqrt{103}-\sqrt{1358})^2 \approx 713.$ $(\sqrt{103}-\sqrt{1358})^2 \approx 713.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/1/091c223726f77157f6a6aadabafec86682.png)
![$(\sqrt{103}-\sqrt{713})^2 \approx 274.$ $(\sqrt{103}-\sqrt{713})^2 \approx 274.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/5/a455fa316ab984636d67717282eff46682.png)
![$(\sqrt{103}-\sqrt{274})^2 \approx 41.$ $(\sqrt{103}-\sqrt{274})^2 \approx 41.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78e3cbd1a203e952529523f590d9750282.png)
![$(\sqrt{103}-\sqrt{41})^2 \approx 14.$ $(\sqrt{103}-\sqrt{41})^2 \approx 14.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/c/b8c2dff8bff64e89b655f79396fa89ae82.png)
Получили знакомое решение
![$\sqrt{103} \approx \sqrt{14}+\sqrt{41}.$ $\sqrt{103} \approx \sqrt{14}+\sqrt{41}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/0/470e8d6d069d28288b39cdeab01d3f8e82.png)
Смутно. Понимаю. Но пока в общих чертах, остальное по мере возникновения вопросов. Последовательность выписана скорее для наглядности, всё можно сделать быстрее, поскольку параметр
![$v \mod 103$ $v \mod 103$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e72fe896860224119ffb8397b19d7f2482.png)
— величина постоянная, могли бы из первых
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-х результатов получить
![$1358-713=645,\ 645 \mod 103=27=v$ $1358-713=645,\ 645 \mod 103=27=v$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/e/96e5781c32949bcc89fba6ebb6d1ee2882.png)
и
![$27^2 \mod 103=8=R.$ $27^2 \mod 103=8=R.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/186b5e740033a90d46e31ad9448f82c082.png)
надо помедитировать;
Надо. Хотя, можно это делать с инженерным калькулятором, который с дисплеем — лучшее оружие против цепных дробей. Но не расчесывать ) Целую часть вычитаем, берем обратное число — и так по кругу. Успокаивает. А потом берем карандашик/авторучка и выписываем подходящие. Знаков
![$10-15$ $10-15$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f170dd737df4a1815aaf3c7caaf2c5ae82.png)
имеем от любой иррациональности и многое понимаем/чувствуем. А так комп делает это за нас.
для нечетных, в отличие от свободных от квадратов четных, невозможно решение, где
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
оба близки к "сердцевине"
![$\lfloor{m/4}\rfloor$ $\lfloor{m/4}\rfloor$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/a/cca06c44a33534a475ccf55a44239d0a82.png)
?
Это просто. Для четных есть
![$v=1$ $v=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/2265c5867c13375cc805765f3de637ee82.png)
сравнимое с единицей по любому модулю. А для нечетных на интервале
![$(1,\sqrt{m})$ $(1,\sqrt{m})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/d/59d1df1033ee47c1aaf6e13f6bfb6b7b82.png)
нет квадратов сравнимых с единицей по
![$\mod m,$ $\mod m,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/3/e73bb56a71578656cb130acdedc91b5882.png)
как и с
![$R.$ $R.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/e/4deca49d77d7adb3583a2e002c3322de82.png)
Возьмите формулу
![$x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-1}{4m}$ $x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-1}{4m}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/278bcd0bd94b9805c0eb2604dc8e04ea82.png)
уберите единицу, подставьте вместо
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
критическую точку
![$ \sqrt{m}$ $ \sqrt{m}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/e/ebe6a741b37efaf24bb0fd081843182e82.png)
, и получите "мертвую зону". То же и c приведенными/неприведенными. Сверху от "мертвой зоны" целых раза в три больше чем снизу, а для приведенной пары требуется однозначное соответствие
![$x \leftrightarrow y.$ $x \leftrightarrow y.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/a/e1abd9ed86c1918fc16c07dc1772f82d82.png)
Это и в жизни так бывает:
. . . . . . .
Нет зубным врачам пути —
Слишком много просятся,
А где зубов на всех найти?
Значит безработица.
https://www.youtube.com/watch?v=d3j1TH6H5R0