Числа близнецы

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте. Мне стало интересно попробовать доказать, что существует бесконечно много простых близнецов. Не могли бы вы оценить:

Начнем с утверждений:

Цитата:

Есть биекция между натуральными числами из промежутка $[2,p]$ и их остатками от деления на все простые числа $\{2,3,5,...,p\}$, где p - простое число.

Это легко следует из китайской теоремы об остатках.
Поэтому давайте вместо чисел представлять массивы из этих остатков.
Далее отсюда легко видеть, что:

Цитата:

Число является простым тогда и только тогда, когда в таком представлении все элементы массива не равны $0$.

Очевидно, т.к. простое число не может делиться на другое простое.

Далее давайте рассмотрим отрезок натуральных чисел $[p+1,2p], p \rightarrow \infty$, где $p - $ простое. Давайте докажем, что на этом отрезке обязательно будут простые близнецы.
Для этого заметим, что у первого близнеца остаток от деления на $2$ равен $1$, а от деления на остальные простые числа $p_i$ (давайте здесь числа на данном отрезке будем представлять в виде массивов из остатков на простые до $2p$) не равен $0$ и $p_i-2$. Это следует из того, что число близнец при прибавлении к нему $2$ должно оставаться простым.
Далее утверждение, которое понадобится дальше:

Цитата:

На любом отрезке из натуральных чисел длиной $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot...\cdot p$(праймориал) и левым концом $>p$(простое число) находятся все массивы из остатков без повторений.

Это следует из биекции между числами и массивами остатков (опять же китайская теорема об остатках).
Давайте теперь вернемся на отрезок $[p+1,2p], p \rightarrow \infty$, где $p - $ простое. В нем, как видно, находится гораздо меньше чисел, чем на отрезке длиной в праймориал $p$.
Зафиксируемся на нечетном числе $p+2$ и пройдем по всему отрезку с шагом $2$. На каждом шаге, мы к каждому остатку $r_i$ в массиве, соответствующему предыдущему числу, прибавляем $2$ по модулю соответствующего простого числа $p_i$. Далее я делаю интуитивное предположение, что т.к. на каждом шаге массивы отличаются от массивов на предыдущем шаге, то предлагаю приблизить данный массив массивом случайных натуральных чисел. Такое предположение можно сделать, т.к. на шаге $j$ значения $r_i$ массива, соответсвующие простым числам $p_i$, где $i << j$ меняются друг относительно друга беспорядочно. А для $i>>j$ значения остатков $r_i$ еще достаточно малы относительно $p_i$.
Прошу, дайте оценку данному предположению, пожалуйста.
Далее давайте найдем вероятность того, что на $j-$ом шаге какое-то $r_i$ будет равно 0 или $p_i-2$(либо число не простое, либо не близнец). Она равна
$p(A)=1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} ... \frac{2p-2}{2p}$
Далее найдем вероятность того, что на каждом из $\frac{p}{2}$ шагов мы получим не близнеца:
$p(B)=p(A)^{\frac{2p}{2}}$
, а это я запрограмировал и нашел, что стремится к нулю.
Значит вероятность не найти близнеца на данном отрезке стремится к нулю.
ч.т.д

Я вижу, что слабое место как раз в предположении, поэтому прошу раскритиковать, где я не прав.

UPD:
Я предполагаю, наверное, что если взять отрезок $[p+1,2p], p \rightarrow \infty$, где $p - $ простое, но вместо начала $p+1$ взять $p+1+o(p)$, где $o(p)$ - случайная величина много меньше $p$. Тогда все остатки будут случайными числами.

[mihaild]

Стремится, просто очень медленно, если я не обсчитался - примерно как $\frac{1}{\log \log p}$. После логарифмирования $P(A)$ и замены на эквивалентные получается ряд из обратных простых, он расходится.
Ну и естественно само по себе рассуждение про случайность никуда не годится.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568552 писал(а):

Стремится, просто очень медленно, если я не обсчитался - примерно как $\frac{1}{\log \log p}$. После логарифмирования $P(A)$ и замены на эквивалентные получается ряд из обратных простых, он расходится.
Ну и естественно само по себе рассуждение про случайность никуда не годится.

Вы обсчитались, скорее всего. Очень быстро стремится к 0. Смотрите на это так: мы выбираем на числовой прямой случайный отрезок длинной $p \rightarrow \infty$. И проводим для него приведенные вычисления. Если вы внимательно посмотрите на отрезок $[c,c+2 \cdot 3 \cdot 5 ... p]$, то значения элементов $r_i$ массивов для $i << p$ распределены равномерно, а отсюда и случайность.

[mihaild]

Да, получается из вашего выражения $P(A) = 1 - O(1) / \ln p$. Но равномерность есть только для отрезка длины $#p$, а не $p$.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568563 писал(а):

Да, получается из вашего выражения $P(A) = 1 - O(1) / \ln p$

А можете показать, как это выводится? Интересно.

А про равномерность не совсем вас понял. Все $r_i$ циклично повторяются, но сдвигаются по "фазе" друг относительно друга каждый цикл. Поэтому я это вижу только на интуитивном уровне. Мы смотрим на отрезок длины $p$ и начинаем вытаскивать из него по одному числу. Вероятность $p(A)$ того что выпадет составное посчитана с рассчетом на то, что для малых $i$ распределение остатков действительно близко к равномерному, а для больших небольшие девиации не повлияют на результат. Плюс еще то, что если мы усредним распределения по всем возможным отрезкам, то также получится равномерное. Согласны?

[mihaild]

Euler-Maskerony в сообщении #1568572 писал(а):

А можете показать, как это выводится?

Попробуйте сами (заодно проверите, не ошибся ли я). Вам понадобятся эквивалентность для логарифма и факт, что ряд обратных простых растет как повторный логарифм.

Euler-Maskerony в сообщении #1568572 писал(а):

Вероятность $p(A)$

Для какого вероятностного пространства?
ИМХО в таких рассуждениях лучше о вероятности по возможности не говорить, а говорить о долях чисел в разных множествах, чтобы помнить, откуда мы берем числа (а не просто случайное натуральное число).

Пока что я бы переформулировал ваше рассуждение в следующее. Назовем число $x$ - $p$-хорошим, если ни $x$, ни $x + 2$ не делятся ни на одно простое число, не превосходящее $p$. Тогда 1) очевидно, что если $x \leq 2p$ и $x$ - $p$-хорошее число, то $(x, x + 2)$ - простые близнецы; 2) на любом отрезке длины $\#p$ есть (и довольно много, можно посчитать, сколько именно) $p$-хороших чисел.
Но к сожалению из 1) и 2) не выводятся, что на отрезке $[p, 2p]$ есть хоть одно $p$-хорошее число.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568589 писал(а):

Но к сожалению из 1) и 2) не выводятся, что на отрезке $[p, 2p]$ есть хоть одно $p$-хорошее число.

Согласен с вами. Я пока не могу грамотно обосновать теорию о равномерности, но это еще не означает, что она неверна. Я еще подумаю.

Спасибо вам за ответы.

[mihaild]

Она точно неверна, потому что из неё (если я не обсчитался с асимптотикой) следует, что среди простых чисел примерно константная доля близнецов, но известно, что это не так (простых чисел, меньших $n$, примерно $n / \ln n$, а близнецов минимум в $\ln n$ раз меньше).

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568670 писал(а):

Она точно неверна, потому что из неё (если я не обсчитался с асимптотикой) следует, что среди простых чисел примерно константная доля близнецов, но известно, что это не так (простых чисел, меньших $n$, примерно $n / \ln n$, а близнецов минимум в $\ln n$ раз меньше).

Отнюдь, она утверждает, что их доля равна:
$\alpha = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (p-2)}{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (p-1)}$, где $p$ - простое число, ограничивающее рабочий отрезок.
$\alpha$ уменьшается с ростом p также как доля простых чисел относительно всех.

К слову, с небольшими уточненими, формула рассчета вероятности встречи числа близнеца дает результаты, согласующиеся с реальными данными.

[mihaild]

Да что ж такое со мной, матан за 1й курс видимо надо переучивать.
Переобозначим ваше $p$ как $n$ (всё равно его простота неважна), и скажем что $p_i$ - $i$-е простое число.
Тогда логарифм доли $n$-хороших чисел на достаточно длинных отрезках равен $\ln \prod \frac{p_i - 2}{p_i} = \sum \ln \left(1 - \frac{2}{p_i}\right) = \sum-\frac{2}{p_i} + \frac{f(i)}{p_i^2} = -2 \ln \ln n + g(n)$, где $f(i)$ и $g(n)$ ограничены, а сама доля, соответственно, равна $\frac{C(n)}{\ln^2 (n)}$.
Так что из простых соображений показать, что такая простая оценка не работает, видимо, не удастся.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568670 писал(а):

Она точно неверна, потому что из неё (если я не обсчитался с асимптотикой) следует, что среди простых чисел примерно константная доля близнецов, но известно, что это не так (простых чисел, меньших $n$, примерно $n / \ln n$, а близнецов минимум в $\ln n$ раз меньше).

Хотя нет, вы правы здесь. Похоже и правда константная получается.

Изменено:
А может и нет. Я запутался. Но все равно огромное спасибо за уделенное время.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568685 писал(а):

Да что ж такое со мной, матан за 1й курс видимо надо переучивать.
Переобозначим ваше $p$ как $n$ (всё равно его простота неважна), и скажем что $p_i$ - $i$-е простое число.
Тогда логарифм доли $n$-хороших чисел на достаточно длинных отрезках равен $\ln \prod \frac{p_i - 2}{p_i} = \sum \ln \left(1 - \frac{2}{p_i}\right) = \sum-\frac{2}{p_i} + \frac{f(i)}{p_i^2} = -2 \ln \ln n + g(n)$, где $f(i)$ и $g(n)$ ограничены, а сама доля, соответственно, равна $\frac{C(n)}{\ln^2 (n)}$.
Так что из простых соображений показать, что такая простая оценка не работает, видимо, не удастся.

Назовем число $\n$ "$c - $ простым", если оно не имеет остатков $(0-c) \mod p_i$, по всем простым $p_i$-ым до этого числа. "$0 - $ простое" число - это обычное простое число. "$2 - $ простое" число - это либо первый близнец, либо не простое число. Если я не ошибаюсь, то число $n$ будет $с - $ простым, если $n+c$ простое. Таким образом их столько же, сколько и простых. Поэтому вероятности их появления на числовой прямой одинаковы, а значит, можно посчитать их совместную вероятность. Если число "$2,0 - $ простое", то оно первый близнец. Я понимаю, что это слабая теория, но у меня просто не хватает смекалки на большее.

К слову, с помощью моей теории можно посчитать примерную долю секстетов простых чисел. Не знаю точно, какая асимптотика, хотя предполагаю, но могу сказать, что вероятность появления секстета на отрезке $[10^6,2 \cdot 10^6]$ равна $8\%$.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1568685 писал(а):

Да что ж такое со мной, матан за 1й курс видимо надо переучивать.
Переобозначим ваше $p$ как $n$ (всё равно его простота неважна), и скажем что $p_i$ - $i$-е простое число.
Тогда логарифм доли $n$-хороших чисел на достаточно длинных отрезках равен $\ln \prod \frac{p_i - 2}{p_i} = \sum \ln \left(1 - \frac{2}{p_i}\right) = \sum-\frac{2}{p_i} + \frac{f(i)}{p_i^2} = -2 \ln \ln n + g(n)$, где $f(i)$ и $g(n)$ ограничены, а сама доля, соответственно, равна $\frac{C(n)}{\ln^2 (n)}$.
Так что из простых соображений показать, что такая простая оценка не работает, видимо, не удастся.

Получается, что если "$c - $ простые" появляются все вместе, то доля "$2,0 - $ простых" будет равна $\frac{1}{(\ln{n})^2}$. Соответственно "$4,2,0 - $ простых" $\frac{1}{(\ln{n})^3}$. Для октетов такая логика уже не работает, т.к. нет чисел $x$ по модулю $3$, таких что $x+10 \neq 0 \& x \neq 0 \& x + 2 \neq 0 \mod 3$.

[gris]

Секстет это $(p,p+6)$? Тогда 8% чего-то слишком много
Во втором миллионе я насчитал их $13033$ штуки, а это чуть больше одного процента. Может быть считается доля от всех простых в интервале? Тогда получается 18%
А в миллионе, сдвинутом на триллион их $3407$.
Чего-то я не так понял

[Euler-Maskerony]

gris в сообщении #1568777 писал(а):

Секстет это $(p,p+6)$? ...
Чего-то я не так понял

Ну я в википедии прочел, что секстет - это $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$. Таких должно быть меньше.

-- 03.11.2022, 09:05 --

gris в сообщении #1568777 писал(а):

Тогда 8% чего-то слишком много

Вы не так поняли. Вероятность, что в том миллионе содержится хотя бы один секстет равна $8\%$
Вероятность, на самом деле, не так важна. Важен темп ее роста.