Определение меры на борелевой алгебре

[YuryS]

Для измеримого пространства $( \mathbb{R}, \mathbf{B}(\mathbb{R}) ) $ встретил такое определение меры:
$ \mu ( dx ) = 1_{(0,1]} (x) dx $
Если предположить, что в левой части использовано сокращение
$ dx = [ x, x + dx ) $ для некоторого малого $dx$,
и $ 1_{(0,1]}(x) $ является индикаторной (характеристической) функцией, то как понимать правую часть этого определения?
2) Каково значение меры $\mu$ на других множествах из $\mathbf{B}(\mathbb{R})$, отличных от $dx$ ?
В частности, чему равно $\mu(\mathbb{R})$ ?
3) Какими новыми множествами пополняет мера $\mu$ алгебру $\mathbf{B}(\mathbb{R})$ ?

[Padawan]

Это абсолютно непрерывная мера c плотностью $f(x)=1_{(0,1]}(x)$. Пишут же под интегралом $f(x)dx$. Для любого борелевского $A\subset\mathbb R$ его мера $\mu(A)=\int\limits_A f(x)dx$.

-- Пн окт 24, 2022 19:11:04 --

YuryS в сообщении #1567532 писал(а):

3) Какими новыми множествами пополняет мера $\mu$ алгебру $\mathbf{B}(\mathbb{R})$ ?

Что значит пополняет? Процедуру пополнения меры имеете ввиду? Типа добавить все подмножества множеств меры нуль?

[YuryS]

Padawan в сообщении #1567555 писал(а):

Типа добавить все подмножества множеств меры нуль?

Ну , да.