Новый подход к Теореме Ферма

fon valery · 01.07.2008, 12:21

УДК 511.2

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

На практическом занятии по системам счисления в ВУЗе или на кружке математики для старшеклассников в школе физико-математического профиля с целью расширения кругозора слушателей и формирования у них качеств исследователя весьма интересным может быть рассмотрение такого материала полемического свойства.

Пусть имеется запись $a_m a_{m - 1} ...a_1 a_0 ,a_{ - 1} ...a_{ - n}$ некоторого действительного числа в Z-ричной позиционной системе счисления. Тогда соответствующий этой записи количественный эквивалент запишется следующим образом:

$(a_m a_{m - 1} ...a_1 a_0 ,a_{ - 1} ...a_{ - n} )_z = a_m *Z^m + a_m _{ - 1} *Z^m ^{ - 1} + ... + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0 + a_{ - 1} *Z^{ - 1} + ... + a_{ - n} *Z^{ - n}$ (1)

Из соотношения (1) нетрудно видеть, что для записи количественного эквивалента в Z-ричном виде, необходимо представить его по степеням Z. Кортеж коэффициентов $a_i$ , где $i \in \left[ { - n;m} \right]$ , и явится Z-ричной записью.
Выше мы рассмотрели запись действительных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части. Если Z-ричное число является целым, то оно может быть записано так: $a_m a_{m - 1} ...a_1 a_0$ , а его количественный эквивалент представлен следующим образом:

$(a_m a_{m - 1} ...a_1 a_0 )_z = a_m *Z^m + a_m _{ - 1} *Z^m ^{ - 1} + ... + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (2)

Рассмотрим пример. Пусть имеется запись некоторого Z-ричного числа 10…00, содержащего ровно m нулей, Определим для неё количественный эквивалент. Так как $a_m = 1,a_{m - 1} = 0$ и т.д. $a_1 = 0,a_0 = 0$ , то в соответствии с (2) получим:
$(10...00)_z = Z^m$ (3)

Определение. Для удобства дальнейшего изложения условимся называть правую часть выражения

$F(x) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} ... + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (4)

Z-полиномом, порождённым целочисленной функцией F(x), если :
1) функция F(x) является степенной целочисленной функцией вида F(x)= $X^n$ , где X, $n \in N$ ;
2) $Z \in N$ , причём Z>X;
3) $a_j \in N$ , где $j \in \left[ {0;n - 1} \right]$ , причём $Z > a_j$
Теорема. Необходимым и достаточным условием существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ ( X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z – взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ ) является существование n равенств вида: $a_0 + b_0 = a_i + b_i + 1 = Z$ , образованных целочисленными коэффициентами $a_0 ,a_i$ и $b_0 ,b_i$ ( $i \in \left[ {0;n - 1} \right]$ ) Z-полиномов, порождённых целочисленными функциями $X^n$ и $Y^n$ .
Доказательство.
Допустим, что равенство $X^n + Y^n = Z^n$ существует для X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z – взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ . В соответствии с (3) Z-ричный вид числа $Z^n$ представится записью $(100...00)_z$ , содержащей ровно n нулей. Из этого следует, что Z-ричное представление числа $X^n$ и числа $Y^n$ не может содержать более n Z-ричных разрядов. Сами эти числа, исходя из (2), можно записать так:

$(a_{n - 1} a_{n - 2} ...a_1 a_0 )_z = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0 = X^n$ (5)

$(b_{n - 1} b_{n - 2} ...b_1 b_0 )_z = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0 = Y^n$ (6)

Если равенство $X^n + Y^n = Z^n$ существует, то в Z-ричном виде его можно записать так:
$(a_{n - 1} a_{n - 2} ...a_1 a_0 )_z + (b_{n - 1} b_{n - 2} ...b_1 b_0 )_z = (100...00)_z$ (7)

Очевидно, что в выражении (7) коэффициенты $a_0$ и $b_0$ не могут быть одновременно равны 0, так как в противном случае, исходя из выражений (5) и (6), числа X и Y не будут взаимно простыми. Поэтому единственным вариантом, удовлетворяющим выражению (7) относительно $a_o$ и $b_0$ , является то, что они не равны нулю и при этом выполняется такое Z-ричное равенство:
$(a_0 )_z + (b_0 )_z = (10)_z$ (8)
В количественном эквиваленте это означает необходимость выполнения условия $a_0 + b_0 = Z$ . В плане арифметических операций с Z-ричными числами выражение (8) говорит о том, что при Z-ричном сложении чисел $(a_0 )_z$ и $(b_0 )_z$ в нулевом разряде будет 0, сопровождаемый единицей переноса в соседний старший (первый) разряд. Поэтому единственным вариантом, удовлетворяющим выражению (7) относительно $a_1$ и $b_1$ , является выполнение такого Z-ричного равенства:

$(a_1 )_z + (b_1 )_z + 1 = (10)_z$ (9)

В количественном эквиваленте это означает необходимость выполнения условия $a_1 + b_1 + 1 = Z$ . Нетрудно видеть, что подобный процесс будет протекать до (n-1)-го Z-ричного разряда, в котором сформируется перенос в соседний (старший) n-ый разряд.
Таким образом, необходимым условием существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ (X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z – взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ ) является существование n равенств вида: $a_0 + b_0 = a_i + b_i + 1 = Z$ , образованных целочисленными коэффициентами $a_0 ,a_i$ и $b_0 ,b_i$ $(i \in \left[ {0;n - 1} \right])$ Z-полиномов, порождённых целочисленными функциями $X^n$ и $Y^n$ .
Покажем, что это условие будет являться и достаточным.
Пусть существуют Z-полиномы, порождённые целочисленными функциями $X^n$ и $Y^n$ :

$X^n = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (10)
$Y^n = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (11)

Предположим, что коэффициенты Z-полиномов удовлетворяют n равенствам

$a_0 + b_0 = a_i + b_i + 1 = Z$ (12)
где $i \in \left[ {0;n - 1} \right]$ .
Покажем, что в этом случае существует такое $Z \in N$ , для которого выполняется равенство $X^n + Y^n = Z^n$ . Действительно, сложим правые и левые части выражений (10) и (11), сгруппируем и заключим в скобки коэффициенты с одинаковой степенью Z. В каждой скобке добавим и вычтем 1. Учтём равенства (12). Получим:

$X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} + 1 - 1)*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} + 1 - 1)*Z^{n - 2} + ... + (a_1 + b_1 + 1 - 1)*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 =$
$=(Z - 1)*Z^{n - 1} + (Z - 1)*Z^{n - 2} + ... + (Z - 1)*Z^1 + Z*Z^0 = Z^n - Z^{n - 1} + Z^{n - 1} - Z^{n - 2} + Z^{n - 2} - ... - Z^2 + Z^2 - Z + Z = Z^n$ (13)

Доказаны необходимое и достаточное условие существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ , где X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z – взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ . Следовательно, теорема доказана.
Из теоремы вытекает важное следствие: начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $X^n + Y^n = Z^n$ .
Доказательство.
В рассмотренной теореме мы исходили из предположения существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ (X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z –взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ ). Предполагая существование указанного равенства, показали, что $X^n$ и $Y^n$ можно представить Z- полиномами вида:

$X^n = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_3 *Z^3 + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (14)
$Y^n = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_3 *Z^3 + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (15)

Кроме того, вывели необходимое и достаточное условие существования названного равенства $X^n + Y^n = Z^n$ , заключающееся в выполнении цепочки равенств:

1) $a_0 + b_0 = Z$ ,
2) $a_1 + b_1 + 1 = Z$ ,
3) $a_2 + b_2 + 1 = Z$ , (16)
- - - - - - - - - - - - -
$i + 1)a_i + b_i + 1 = Z,$
- - - - - - - - - - - - - -
n) $a_{n - 1} + b_{n - 1} + 1 = Z,$

где $a_0 ,a_i$ и $b_0 ,b_i (i \in \left[ {1,n - 1} \right])$ - суть целочисленные коэффициенты Z- полиномов, порождённых целочисленными функциями $X^n$ и $Y^n$ .
Убедимся в справедливости выражений (14), (15), (16) для n=2. Исходя из выражений (14) и (15):

$X^2 = a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (17)
$Y^2 = b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (18)

Приведём некоторые примеры из множества таких Z-полиномов.

$X^2 = 1*5^1 + 4*5^0$ (19)
$Y^2 = 3*5^1 + 1*5^0$ (20)

Здесь $Z = 5,a_1 = 1,a_0 = 4,b_1 = 3,b_0 = 1.$

$X^2 = 1*4901^1 + 4900*4901^0$ (21)
$Y^2 = 4899*4901^1 + 1*4901^0$ (22)

Здесь $Z = 4901,a_1 = 1,a_0 = 4900,b_1 = 4899,b_0 = 1.$

Рассмотрим случай n=3.

$X^3 = a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (23)
$Y^3 = b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (24)

Как доказал Леонард Эйлер, равенства $X^3 + Y^3 = Z^3$ не существует в целых X, Y, Z. Следовательно, относительно суммы правых частей выражений (23) и (24) можно сказать, что

$(a_2 + b_2 )*Z^2 + (a_1 + b_1 )*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 \ne Z^3$ (25)

Предположим, что случай n=3 является исключением и при n>3 существуют тройки целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $X^n + Y^n = Z^n$ . Покажем, что этого быть не может. Для этого прибавим к левой и правой части выражения (25) следующий многочлен:

$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3$ (26)

Получим:
$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + (a_2 + b_2 )*Z^2 + (a_1 + b_1 )*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 \ne$
$\ne(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + Z^3$ (27)

Левая часть выражения (27), исходя из выражений (14) и (15), будет равна $X^n + Y^n$ ; правая часть выражения (27) с учётом соотношений (16) будет равна:

$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + Z^3 = (Z - 1)*Z^{n - 1} + (Z - 1)*Z^{n - 2} + ... + (Z - 1)*Z^3 + Z^3 = Z^n$ (28)

Таким образом, из выражения (27) следует, что $X^n + Y^n \ne Z^n .$ . То есть получили противоречие. Следовательно, начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $X^n + Y^n = Z^n$ .

PAV · 01.07.2008, 13:20

!	PAV:
	Разбейте, пожалуйста, длинные формулы (в первую очередь (13)) на более короткие части, чтобы текст по ширине влезал на экран, а то читать невозможно

Алексей К. · 01.07.2008, 16:39

Во вторую очередь --- (28)...

Добавлено спустя 23 минуты 53 секунды:

fon valery писал(а):

Определение. Для удобства дальнейшего изложения условимся называть правую часть выражения

$F(x) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} ... + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (4)

Z-полиномом, порождённым целочисленной функцией F(x), если :
1) функция F(x) является степенной целочисленной функцией вида F(x)= $X^n$ , где X, $n \in N$ ;
2) $Z \in N$ , причём Z>X;
3) $a_j \in N$ , где $j \in \left[ {0;n - 1} \right]$ , причём $Z > a_j$
Теорема. Необходимым и достаточным условием существования равенства... (выделено мной, АК.)

На этом форуме лишь немногие избранные знают, что значит существование равенства. Остальные потребуют пояснений (один, правда, сразу, не требуя пояснений, скажет, что он об этом думает. Как только увидит...)

И что, действительно кто-то испытает удобство дальнейшего изложения, когда вместо привычного "представление числа $X^n$ в $Z$ -ичной системе счисления" надо будет выучивать про "правую часть выражения ... Z-полинома ... порождённого функцией $F(x)$ ... степенной ... etc."?

TOTAL · 01.07.2008, 16:52

Для облегчения понимания Нового подхода к Теореме Ферма подскажите, подалуйста, в каком отношении этот подход находится к
Теорема Ферма. Доказательство из http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=11989?

PAV · 01.07.2008, 18:09

В выражениях (23), (24) и (25) буквами $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ и $b_2$ , $b_1$ , $b_0$ обозначены коэффициенты разложения по степеням $Z$ чисел $X^3$ и $Y^3$ . Затем Вы переходите к степеням $n$ , но при этом коэффициенты будут уже другие и обозначать их теми же самыми буквами нельзя. Обозначим их буквами $c$ и $d$ :
$X^n=c_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+c_2Z^2+c_1Z+c_0$
$Y^n=d_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+d_2Z^2+d_1Z+d_0$
Как Вы предполагаете рассуждать дальше? Неравенство
$(c_2+d_2)Z^2+(c_1+d_1)Z+(c_0+d_0)\ne Z^3$
предполагать нельзя, потому что слагаемые, составляющие левую часть, не обязательно являются третьими степенями некоторых целых чисел.

fon valery · 07.07.2008, 11:50

Уважаемый PAV!
Докажем существование такого неравенства!
Для этого рассмотрим многочлен
$(c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 (I)$
Из теоремы об условиях существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ в целых взаимно простых числах X, Y, Z следует (см. выражения 12 и 16) необходимость выполнения такой цепочки равенств:
$\begin{gathered} c_0 + d_0 = Z, \hfill \\ c_1 + d_1 + 1 = Z, \hfill \\ c_2 + d_2 + 1 = Z,(II) \hfill \\ - - - - - - \hfill \\ c_{n - 1} + d_{n - 1} + 1 = Z. \hfill \\ \end{gathered}$
Таким образом, из предположения существования равенства $X^n + Y^n = Z^n$ в целых взаимно простых числах X, Y, Z многочлен (I) с учётом равенств (II) будет равен:
$(c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 = Z^3 (III)$
где $(c_2 + d_2 ),(c_1 + d_1 ),(c_0 + d_0 ) -$ суть целочисленные выражения.
Итак, предположим, что равенство (III) существует. Докажем невозможность этого.
Рассмотрим выражение $X^3 + Y^3 = Z^3 .$ Необходимым и достаточным условием его существования как равенства в целых взаимно простых числах X, Y, Z является выполнение такой цепочки равенств:
$\begin{gathered} a_0 + b_0 = Z, \hfill \\ a_1 + b_1 + 1 = Z, \hfill \\ a_2 + b_2 + 1 = Z. \hfill \\ \end{gathered}$
Из предположения существования равенства $X^3 + Y^3 = Z^3$ следуют выражения (23) и (24). Но Л.Эйлер доказал факт несуществования этого равенства в целых числах X, Y, Z. Из этого следует выражение (25):
$(a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z^1 + (a_0 + b_0 )Z^0 \ne Z^3 (IV)$
Кроме того, из факта несуществования целочисленного Z в соответствии с (16) вытекает факт несуществования целочисленных выражений $(a_2 + b_2 ),(a_1 + b_1 ),(a_0 + b_0 ).$ Сравним выражения (III) и (IV). Левые их части представляют собой многочлен вида
$k_2 Z^2 + k_1 Z^1 + k_0$
С одной стороны, из исходного предположения следует (см. выражение III)
- существование этого многочлена в равенстве его $Z^3 ,$
- существование целочисленных коэффициентов при степенях $Z.$
С другой строны, из выражения (IV) следует
- невозможность существования этого многочлена в равенстве его $Z^3 ,$
- невозможность существования целочисленных коэффициентов при степенях $Z.$
Получили противоречие! Следовательно, предположение о существовании равенства (III) является ложным, то есть имеет место неравенство
$(c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 \ne Z^3$
Что и требовалось доказать!

P.S. Уважаемый PAV! Спасибо за хороший вопрос. Его постановка способствует более убедительному изложению доказательства, которое в новой его редакции (с учётом Вашего замечания и некоторых стилистических правок) планируется вынести на форум в сентябре этого года.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Уважаемый Алексей К!
Вы правы в понимании СУТИ Z-полиномов. Сам термин "Z-полином" введён для упрощения формулировки последующей теоремы.

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

Уважаемый TOTAL!
Смотрите завершающую часть статьи. Следствие из доказанной теоремы как раз и ориентировано на ВТФ.

PAV · 07.07.2008, 12:25

Для начала замечания следующие. Во-первых, стилистическое. Выражение "равенство существует" неправильно, так не говорят. Говорят, что равенство "выполнено" или "не выполнено".

Во-вторых, поскольку в рамках своего доказательства Вы рассматриваете такую тройку чисел $(X,Y,Z)$ , для которой $X^n+Y^n=Z^n$ , то отсюда автоматически следует, что равенство $X^3+Y^3=Z^3$ не выполняется, равно как и для любой другой степени, кроме той самой $n$ , которая предположена. Так что ссылаться на результаты Эйлера нет смысла.

И главное пока что - совершенно непонятно, как доказано, что равенство (III) неверно. В доказательстве нигде не используется, что числа $c$ и $d$ являются коэффициентами в разложении по степеням $Z$ заданных чисел $X$ и $Y$ . У Вас вроде как получается, что равенство (III) неверно для любых целых чисел $c_i$ и $d_i$ ? Это очевидно не так. Например, возьмем $c_0=c_1=c_2=1$ , а числа $d_i$ определим из равенств (II).

fon valery · 07.07.2008, 15:01

Уважаемый PAV!
С первым Вашим абзацем можно согласиться.
По третьему (главному) абзацу: посмотрите Ваш вопрос от 01.07, где Вы, по-сути, предложили заменить в выражениях (14) и (15) символы "a" и "b" на "c" и "d". В своём ответе я исходил из Ваших обозначений и из того, что Вам понятно содержание этих символов.
По второму абзацу: ссылка на Л.Эйлера является ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ. Действительно, из предположения существования троек целых взаимно простых чисел X, Y, Z при $n \geqslant 2$
следует, что
$X^n + Y^n = (c_{n - 1} + d_{n - 1} )Z^{n - 1} + ... + (c_3 + d_3 )Z^3 + (c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 = Z^n$
Причём, для $n \geqslant 3$ это будет выполнено в том случае, если (см. теорему о необходимых и достаточных условиях)
$\begin{gathered} c_0 + d_0 = Z \hfill \\ c_1 + d_1 = Z - 1 \hfill \\ c_2 + d_2 = Z - 1 \hfill \\ \end{gathered}$
То есть для выполнения равенства $X^n + Y^n = Z^n$ при $n \geqslant 3$ необходимо выполнение такого равенства:
$(c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 = Z^3$
Ссылка на Л.Эйлера позволяет утверждать, что
$(c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + (c_0 + d_0 )Z^0 \ne Z^3$
Это открывает путь к доказательству невыполнимости равенства $X^n + Y^n = Z^n$ при n > 3.

Представим, что не было бы доказательства Л.Эйлера для n=3. В этом случае, опираясь на доказательство П.Ферма для n=4 (известно, что оно существует!) можно было бы утверждать невыполнимость равенства $X^n + Y^n = Z^n$ лишь для n, не меньших 4.

PAV · 07.07.2008, 15:24

Я не понимаю Вашего рассуждения. Вы согласны с тем, что равенство (III) выполняется для каких-то чисел $c_i,d_i$ ?

fon valery · 09.07.2008, 10:55

Уважаемый PAV!
НЕ согласен!
В выражении (III) $c_i$ и $d_i$ - НЕ "какие-то числа", а коэффициенты разложения $X^n$ и $Y^n ,$ получаемые вследствие предположения выполнения равенства $X^n + Y^n = Z^n$ в целых числах X, Y, Z. Кроме того, эти коэффициенты для выполнения выше записанного равенства должны удовлетворять сформулированным выше необходимым условиям. В этом контексте я НЕ согласен с тем, что равенство (III) выполняется! БЕЗОГОВОРОЧНО следовало бы согласиться с Вами в части выполнения равенства (III) в том случае, если бы Вы нашли такие $c_i$ и $d_i$ (точнее, $c_{0,} c_1 ,c_2$ и $d_{0,} d_1 ,d_2 ,$ а, следовательно, и Z), которые бы обеспечили выполнение следующих равенств:
$X^3 = c_2 Z^2 + c_1 Z^1 + c_0 Z^0$
$Y^3 = d_2 Z^2 + d_1 Z^1 + d_0 Z^0$

Коровьев · 09.07.2008, 12:53

fon valery писал(а):

БЕЗОГОВОРОЧНО следовало бы согласиться с Вами в части выполнения равенства (III) в том случае, если бы Вы нашли такие $c_i$ и $d_i$ (точнее, $c_{0,} c_1 ,c_2$ и $d_{0,} d_1 ,d_2 ,$ а, следовательно, и Z), которые бы обеспечили выполнение следующих равенств:
$X^3 = c_2 Z^2 + c_1 Z^1 + c_0 Z^0$
$Y^3 = d_2 Z^2 + d_1 Z^1 + d_0 Z^0$

Соглашайтесь, я такие нашёл!!!

$X^3 = 5*7^2 + 4*7 + 3$

$Y^3 = 1*7^2 + 2*7 + 4$
Отседова
$X^3+Y^3=7^3$ !!!
А Эйлер-то ошибся!!!

fon valery · 09.07.2008, 13:55

Уважаемый PAV!

Был бы рад с Вами согласиться, если бы при этом X и Y оказались ЦЕЛЫМИ!!! Ведь наше предположение как раз и исходит из этого.

PAV · 09.07.2008, 17:01

То, что написал Коровьев, я не понимаю.

fon valery писал(а):

В выражении (III) $c_i$ и $d_i$ - НЕ "какие-то числа", а коэффициенты разложения $X^n$ и $Y^n$

Хорошо, что Вы это написали. Необходимо понимать, что на протяжении всего рассуждения мы имеем дело с некоторой одной вполне определенной тройкой чисел $(X,Y,Z)$ . Мы сделали предположение, что эти числа удовлетворяют соотношению $X^n+Y^n=Z^n$ и рассчитываем придти к противоречию.

Правильный стиль изложения - это выводить различные свойства этих чисел. В связи с этим я спотыкаюсь о написанную Вами фразу

fon valery писал(а):

Кроме того, из факта несуществования целочисленного $Z$ в соответствии с (16) вытекает факт несуществования целочисленных выражений $(a_2 + b_2)$ , $(a_1 + b_1)$ , $(a_0 + b_0)$ .

Давайте будем говорить только про свойства существующих у нас объектов. Действительно, можно утверждать, что выполнено соотношение $(a_2+b_2)Z^2+(a_1+b_1)Z+(a_0+b_0)\ne Z^3$ . А как отсюда следует, что это же выполняется для других имеющихся у нас коэффициентов $c$ и $d$ - я не понимаю.

А фразы

fon valery писал(а):

существование этого многочлена в равенстве его $Z^3$
- существование целочисленных коэффициентов при степенях $Z$ .

я совершенно не понимаю. Я бы хотел видеть не рассуждения о каких-то абстрактных многочленов, а свойства тех конкретных многочленов, которые у нас есть.

Коровьев · 09.07.2008, 22:44

Применяя мозохистскую логику автора бесконечно усилим утверждение Ферма.

Не существует таких целочисленных функций чтобы выполнялось равенство при целых $X,Y,Z$
$F(X) + f(Y) = Z^n$

Пусть существуют Z-полиномы, порождённые некими целочисленными функциями $F(X)$ и $f(Y)$ :

$F(X) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (10)
$f(Y) = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (11)

Предположим, что коэффициенты Z-полиномов удовлетворяют n равенствам

$a_0 + b_0 = a_i + b_i + 1 = Z$ (12)
где $i \in \left[ {0;n - 1} \right]$ .
Покажем, что в этом случае существует такое $Z \in N$ , для которого выполняется равенство $F(X) + f(Y) = Z^n$ . Действительно, сложим правые и левые части выражений (10) и (11), сгруппируем и заключим в скобки коэффициенты с одинаковой степенью Z. В каждой скобке добавим и вычтем 1. Учтём равенства (12). Получим:

$F(X) + f(Y) = (a_{n - 1} + b_{n - 1} + 1 - 1)*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} + 1 - 1)*Z^{n - 2} + ... + (a_1 + b_1 + 1 - 1)*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 =$
$=(Z - 1)*Z^{n - 1} + (Z - 1)*Z^{n - 2} + ... + (Z - 1)*Z^1 + Z*Z^0 =$
$= Z^n - Z^{n - 1} + Z^{n - 1} - Z^{n - 2} + Z^{n - 2} - ... - Z^2 + Z^2 - Z + Z = Z^n$
(13)

Доказаны необходимое и достаточное условие существования равенства $F(X) + f(Y) = Z^n$ , где X, Y, Z, $n \in N$ , причём X, Y, Z – взаимно простые числа, $n \geqslant 2$ . Следовательно, теорема доказана.
Из теоремы вытекает важное следствие: начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $F(X) + f(Y) = Z^n$ .
Доказательство.
Рассмотрим случай n=3 для третьих степеней $X,Y,Z$

$X^3 = a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0$ (23)
$Y^3 = b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0$ (24)

Как доказал Леонард Эйлер, равенства $X^3 + Y^3 = Z^3$ не существует в целых X, Y, Z. Следовательно, относительно суммы правых частей выражений (23) и (24) можно сказать, что

$(a_2 + b_2 )*Z^2 + (a_1 + b_1 )*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 \ne Z^3$ (25)

Предположим, что случай n=3 является исключением и при n>3 существуют тройки целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $F(X)+f(Y)= Z^n$ . Покажем, что этого быть не может. Для этого прибавим к левой и правой части выражения (25) следующий многочлен:

$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3$ (26)

Получим:
$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + (a_2 + b_2 )*Z^2 + (a_1 + b_1 )*Z^1 + (a_0 + b_0 )*Z^0 \ne$
$\ne(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + Z^3$ (27)

Левая часть выражения (27), исходя из выражений (14) и (15), будет равна $F(X)+f(Y)$ ; правая часть выражения (27) с учётом соотношений (16) будет равна:

$(a_{n - 1} + b_{n - 1} )*Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )*Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )*Z^3 + Z^3=$
$= (Z - 1)*Z^{n - 1} + (Z - 1)*Z^{n - 2} + ... + (Z - 1)*Z^3 + Z^3 = Z^n$
(28)

Таким образом, из выражения (27) следует, что $F(X)+f(Y) \ne Z^n .$ . То есть получили противоречие. Следовательно, начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству $F(X)+f(Y) = Z^n$
где $F(X)$ и $f(Y)$ - любые функции по вкусу.
*****
p.s.
Я всего лишь заменил в доказательстве авторские $X^n$ и $Y^n$ на любые функции $F(X)$ и $f(Y)$ ...
И ничего не изменилось!
Ведь ежели в первом акте на стене висит ружьё, то оно где-то по ходу пиессы должно и
выстрелить.
У нашего автора $X^n$ и $Y^n$ так и не выстрелили.
Теперь пусть автор ищет ошибку в моём доказательсве

PAV · 09.07.2008, 23:20

Да, это хорошо.

Научный форум dxdy

Новый подход к Теореме Ферма