Новый подход к Теореме Ферма

[Алексей К.]

Осталось подтвердить УДК и сам факт, что

fon valery писал(а):

УДК 511.2

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

На практическом занятии по системам счисления в ВУЗе или на кружке математики для старшеклассников в школе физико-математического профиля с целью расширения кругозора слушателей и формирования у них качеств исследователя весьма интересным может быть рассмотрение такого материала полемического свойства.

Без иронии --- неплохая практика...

[fon valery]

Уважаемый PAV!

Как это Вы - ТОЛКОВЫЙ математик, столь БЛЕСТЯЩЕ опонировавший мне ранее - не увидели очевидного логического провала г-на Коровьева? Он положил, что

\[ \begin{gathered} F(x) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0 \hfill \\ f(y) = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0 \hfill \\ \end{gathered} \]

В правой части этих выражений стоит Z, а не X и Y. Следовательно, нужно писать НЕ F(x) и f(y), а F(z) и f(z) соответственно.

Уважаемый PAV! Я Вам очень признателен за ранее заданный вопрос, который помог мне обосновать встраивание Эйлера (n=3) в общий случай. В самое ближайшее время выставлю на форуме откорректированный вариант подхода к ВТФ.

[PAV]

Ошибаетесь, ибо в этом случае и Ваше соотношение
$X^n=a_{n-1}Z^{n-1}+...+a_0$ можно забраковать на том же основании. В тех равенствах, которые Вы критикуете, левые части $F(X)$ и $f(Y)$ раскладываются по степеням $Z$. Точно так же, как у Вас. Совершенно уверенно заявляю, Коровьев абсолютно прав.

Вы рано радуетесь. Ваше доказательство неверно, так как Вы нигде не используете связь между коэффициентами $a$, $b$ и $c$, $d$ (или, что то же самое, нигде не используете, что символом $X^n$ обозначено именно возведение $X$ в степень $n$). Если Вы не осознаете и не попытаетесь исправить это ошибку, то никакого толка от "отредактированного" варианта не будет.

А без Эйлера тут все равно можно обойтись. Еще раз повторяю: Вы исходите из предположения, что рассматриваемая Вами тройка чисел удовлетворяет равенству $X^n+Y^n=Z^n$. При этом равенство для третьих степеней невозможно даже если бы существовали такие тройки, для которых оно выполняется. Точно так же для рассматриваемой Вами тройки можно утверждать, что $X^2+Y^2\ne Z^2$ и $X+Y\ne Z$.

[fon valery]

Уважаемый PAV!
Это - ПЛОХО!!! Как это Вы - ТОЛКОВЫЙ математик, столь БЛЕСТЯЩЕ опонировавший мне ранее - не увидели очевидного логического провала г-на Коровьева! Он положил, что

\[ \begin{gathered} F(x) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0 \hfill \\ f(y) = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0 \hfill \\ \end{gathered} \]

В правой части этих выражений стоит Z, а не X и Y! Следовательно, нужно писать не F(x) и f(Y), a F(z) и f(z) соответственно.
Уважаемый PAV! Ранее Вашим хорошим вопросом Вы помогли мне обосновать встраивание Эйлера в общий случай. Я выражаю Вам свою признательность и в самое ближайшее время представлю откорректированную версию ВТФ. Она учитывает и ряд других полезных замечаний участников форума.

[PAV]

PAV:

fon valery, не дублируйте одинаковые сообщения

[fon valery]

Уважаемый PAV!
Это - ПЛОХО!!!
Как это Вы - ТОЛКОВЫЙ математик, столь БЛЕСТЯЩЕ опонировавший мне ранее - не увидели очевидного логического провала г-на Коровьева! Он положил, что

\[ \begin{gathered} F(x) = a_{n - 1} *Z^{n - 1} + a_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + a_2 *Z^2 + a_1 *Z^1 + a_0 *Z^0 \hfill \\ f(y) = b_{n - 1} *Z^{n - 1} + b_{n - 2} *Z^{n - 2} + ... + b_2 *Z^2 + b_1 *Z^1 + b_0 *Z^0 \hfill \\ \end{gathered} \]

В правой части этих выражений стоит Z, а не X и Y. Следовательно, нужно писать не F(x) и f(Y), a F(z) и f(z) соответственно.
Уважаемый PAV! Ранее Вашим хорошим вопросом Вы помогли мне обосновать встраивание Эйлера в общий случай. Я выражаю Вам свою признательность и в самое ближайшее время представлю откорректированную версию ВТФ, учитывающую полезные советы участников форума.

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

Уважаемый PAV!
Были проблемы у провайдера с DNS-сервером!

[TOTAL]

fon valery писал(а):

Уважаемый PAV! Ранее Вашим хорошим вопросом Вы помогли мне обосновать встраивание Эйлера в общий случай. Я выражаю Вам свою признательность и в самое ближайшее время представлю откорректированную версию ВТФ. Она учитывает и ряд других полезных замечаний участников форума.

fon valery, как Вы сами относитесь к своему доказательству, насколько серьёзно? Уверены, что в нём нет ошибок? Или не понимаете, есть ли в нём ошибки, и Вам интересно, чтобы кто-то указывал на ошибки, а Вы вносили очередные исправления и т.д? Готовы предъявить "окончательный" вариант и отдать хоть что-нибуть (что именно?) на отсечение, если в нём будет найдена ошибка?

[fon valery]

Уважаемый PAV!
ДЕТАЛЬНО отвечаю на Ваш изначальный вопрос относительно

\[ c_i ,d_i \]

и

\[a_i,b_i . \]

Для этого в ход доказательства привнесено такое утверждение: ни для какого наперёд заданного целого числа Z не существует пары целых чисел X и Y, удовлетворяющих равенству

\[X^3 + Y^3 = Z^3 . \]

Раньше это утверждение и выводы из него НЕ использовались в процессе доказательства. Использовалось только такое утверждение: ни для каких целых X и Y не существует такого целого Z, при котором выполнялось бы равенство

\[X^3 + Y^3 = Z^3 . \]

ПРИМЕЧАНИЕ: первоночальный вариант статьи до выражения (22) включительно остаётся без изменения; последующее изложение приведено ниже.

Рассмотрим случай

\[ n \geqslant 3 .\]

Предположим, что в целых взаимно простых числах X, Y, Z при n≥3 выполняется равенство

\[X^n + Y^n = Z^n (23) \]

В этом случае в соответствии с выражениями (14) и (15) можно записать:

\[ X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} ) \bullet Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} ) \bullet Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 ) \bullet Z^3 + (a_2 + b_2 ) \bullet Z^2 + (a_1 + b_1 ) \bullet Z^1 + (a_0 + b_0 ) \bullet Z^0 (24) \]

Рассмотрим такую часть выражения (24):

\[ (a_2 + b_2 ) \bullet Z^2 + (a_1 + b_1 ) \bullet Z^1 + (a_0 + b_0 ) \bullet Z^0 (25) \]

Для выполнения равенства (23) должны выполняться необходимые и достаточные условия в соответствии с равенствами (16). При их выполнении выражение (25) запишется следующим образом:

\[ (a_2 + b_2 ) \bullet Z^2 + (a_1 + b_1 ) \bullet Z^1 + (a_0 + b_0 ) \bullet Z^0 = Z^3 (26) \]

Итак, из предположения выполнения равенства (23) получили равенство (26). Докажем невыполнимость равенства (26).
Рассмотрим выражение

\[ X^3 + Y^3 = Z^3 (27) \]

Из предположения выполнения этого равенства в целых взаимно простых числах X, Y, Z в соответствии с выражениями (14) и (15):

\[ \begin{gathered} X^3 = c_2 \bullet Z^2 + c_1 \bullet Z^1 + c_0 \bullet Z^0 (28) \hfill \\ Y^3 = d_2 \bullet Z^2 + d_1 \bullet Z^1 + d_0 \bullet Z^0 (29) \hfill \\ \end{gathered} \]

где

\[ c_2 + d_2 = Z - 1,c_1 + d_1 = Z - 1,c_0 + d_0 = Z(30) \]

Но Леонард Эйлер доказал факт невыполнения равенства (27) в целых числах X, Y, Z. Это означает, что ни для каких целых X и Y не существует такого целого Z, при котором выполнялось бы равенство (27). Следовательно,

\[(c_2 + d_2 ) \bullet Z^2 + (c_1 + d_1 ) \bullet Z^1 + (c_0 + d_0 ) \bullet Z^0 \ne Z^3 (31) \]

Справедливо и такое утверждение: ни для какого наперёд заданного целого числа Z не существует пары целых чисел X и Y, удовлетворяющих равенству (27), и, следовательно, ОДНОВРЕМЕННО удовлетворяющих равенствам (28) и (29). Из этого факта следует:

\[ X^3 + Y^3 \ne (c_2 + d_2 ) \bullet Z^2 + (c_1 + d_1 ) \bullet Z^1 + (c_0 + d_0 ) \bullet Z^0 (32)\]

Очевидно, что выполнение данного неравенства обеспечивается при любых значениях

\[ c_2 ,c_1 ,c_0 \]

и

\[ d_2 ,d_1 ,d_0 \]

, удовлетворяющих соотношениям (30). Следовательно, выполнение неравенства (32) будет обеспечено и при таких значениях:

\[ \begin{gathered} c_2 + d_2 = a_2 + b_2 , \hfill \\ c_1 + d_1 = a_1 + b_1 , \hfill \\ c_0 + d_0 = a_0 + b_0 ,(33) \hfill \\ \end{gathered} \]

где

\[ a_2 + b_2 = Z - 1,a_1 + b_1 = Z - 1,a_0 + b_0 = Z(34) \]

Неравенство (31) с учётом соотношений (33) запишется так:

\[(a_2 + b_2 ) \bullet Z^2 + (a_1 + b_1 ) \bullet Z^1 + (a_0 + b_0 ) \bullet Z^0 \ne Z^3 (35) \]

Сравним полученное неравенство (35) с равенством (26), выполнение которого мы предполагали. Получили противоречие! Следовательно, равенство (26) не выполнимо и имеет место неравенство (35). Исходя из этого, учитывая равенства (16), запишем выражение (24) в таком виде:

\[ \begin{gathered} X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} ) \bullet Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} ) \bullet Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 ) \bullet Z^3 + (a_2 + b_2 ) \bullet Z^2 + (a_1 + b_1 ) \bullet Z^1 + (a_0 + b_0 ) \bullet Z^0 \ne \hfill \\ \ne (a_{n - 1} + b_{n - 1} ) \bullet Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} ) \bullet Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 ) \bullet Z^3 + Z^3 = \hfill \\ =(Z - 1) \bullet Z^{n - 1} + (Z - 1) \bullet Z^{n - 2} + ... + (Z - 1) \bullet Z^3 + Z^3 = Z^{^n } (36) \]

Из выражения (36) следует, что

\[ X^n + Y^n \ne Z^n . \]

Получили противоречие с нашим исходным предположением о выполнении равенства в целых взаимно простых числах X, Y, Z при n≥3. Следовательно, начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству

\[ X^n + Y^n = Z^n . \]

P.S. Уважаемый PAV!
Если мои доказательства Вы сочтёте достаточно убедительными, то, согласитесь, было бы целесообразным объединить начальную и представленную здесь конечную часть в одно целое. Это для того, чтобы у посетителей форума сложилась ЦЕЛЬНАЯ картина.

Добавлено спустя 14 минут 31 секунду:

Уважаемый TOTAL!
К своему доказательству отношусь СЕРЬЁЗНО, так как считаю, что использование Z-ричного подхода открывает новые пути к доказательству ВТФ. Считаю, что в первом варианте доказательства НЕ было ошибок. Другое дело, что не был достаточно обоснован переход от Л.Эйлера к общему случаю! Вся дальнейшая дискуссия в её лучших вопросах (это прежде всего вопросы PAV), по сути, и свелась к этому. В её начале мне не удалось достаточно убедительно доказать такой переход. Сейчас это получилось! Убеждён в истинности доказательства!!! Не исключаю, что в процессе поиска в нём ошибок Вы найдёте свой путь доказательства ВТФ на том инструментарии, который был в эпоху П.ФЕРМА.

[TOTAL]

fon valery писал(а):

Для этого в ход доказательства привнесено такое утверждение: ни для какого наперёд заданного целого числа Z не существует пары целых чисел X и Y, удовлетворяющих равенству

\[X^3 + Y^3 = Z^3 . \]

Раньше это утверждение и выводы из него НЕ использовались в процессе доказательства. Использовалось только такое утверждение: ни для каких целых X и Y не существует такого целого Z, при котором выполнялось бы равенство

\[X^3 + Y^3 = Z^3 . \]

В чем разница?

[shwedka]

fon valery

Цитата:

Очевидно, что выполнение данного неравенства обеспечивается при любых значениях $ c_2 ,c_1 ,c_0 $

Неочевидно и требует доказательства. В особенности, слово любых

[PAV]

fon valery писал(а):

Если мои доказательства Вы сочтёте достаточно убедительными

Не сочту. Более того, мне уже порядком надоело хождение по кругу и разжевывание одних и тех же вещей. Если принципиально ничего не поменяется, то вряд ли я продолжу вести комментарии в этой теме.

Ваше "привнесение утверждения" совершенно ничего не меняет. Утверждение гласит, что не существует тройки $(X,Y,Z)$ с определенными свойствами; а уж сказать "для любого значения $Z$ не существует таких $X$ и $Y$ что..." или "для любых $X$ и $Y$ не существует такого $Z$ что..." - это совершенно неважно, смысл один и тот же.

Доказательства Вы аккуратно писать не умеете. Я уже отмечал, как нужно поступать: выводите свойства, которыми обладают Ваши объекты. И все. Ваше же рассуждение состоит из каких-то новых предположений, внутренних противоречий и спутанной логики. Совершенно непонятно, какие соотношения верны, какие неверны и что из чего следует. Читать это не доставляет никакого удовольствия.

Например. Равенства

fon valery писал(а):

$X^3 = c_2 \bullet Z^2 + c_1 \bullet Z^1 + c_0 \bullet Z^0$ (28)
$Y^3 = d_2 \bullet Z^2 + d_1 \bullet Z^1 + d_0 \bullet Z^0$ (29)

являются определениями коэффициентов $c$ и $d$. Они выполняются по определению. Таким образом, по определению утверждение

fon valery писал(а):

Из этого факта следует:
$ X^3 + Y^3 \ne (c_2 + d_2 ) \bullet Z^2 + (c_1 + d_1 ) \bullet Z^1 + (c_0 + d_0 ) \bullet Z^0$ (32)

неверно.

Далее, зачем писать заведомо неверное соотношение

fon valery писал(а):

$X^3 + Y^3 = Z^3$ (27)

И потом еще целым абзацем объяснять очевидный всем факт, что оно неверно. Чтобы внести дополнительную путаницу? Написали бы так:

Цитата:

Очевидно, что $X^3+Y^3\ne Z^3$

Если бы Вас потом спросили, откуда это "очевидно", то объяснили бы. Но никто не спросит, потому что это все и так понимают. Зато в других местах, которые вызывают вопросы, Вы это "очевидно" вставляете без лишних пояснений. Впрочем, такое поведение совершенно типично для всех представителей породы ферматистов. Аккуратно, четко и подробно разъясняют очевидные вещи, после чего абсолютно никак не поясняют сомнительные переходы.

Третий пример: написанные Вами соотношения (30) и (31) очевидно противоречат друг другу, что выясняется подстановкой. Где написано, какой из них Вы считаете неверным? Точно так же противоречат друг другу соотношения (34) и (35).

При таком способе оформления рассуждений комеентировать что-либо бессмысленно. Если бы Вы писали только формулы, которые считаете справедливыми, то можно было бы указать, какая из них не доказана.

Мне кажется, что Вы не понимаете сути претензий, которые Коровьев предъявил Вам ранее. Поясняю последний раз: возьмите свое доказательство и механически замените везде выражение $X^n$ на $f(X,n)$, подразумевая под $f$, возможно, какую-то другую функцию от $X$ и $n$. И укажите тот переход, который при такой замене станет неверным. Никто из присутствующих его не видит, потому что Вы действительно нигде содержательно не используете, что рассматриваете именно возведение в степень $n$, а не какую-то другую операцию. Вы один раз раскладываете $X^n$ по степеням $Z$, получаете оттуда коэффициенты $a$, после чего работаете только с ними. Почему нельзя аналогичным образом разложить по степеням $Z$ величину $f(X,n)$ и оставить всю остальную часть рассуждения без изменения? Непонятно.

Контрпример. Возьмем $a_0=1$, $b_0=Z-1$, $a_1=1$, $b_1=Z-2$, $a_2=1$, $b_2=Z-2$. Для этих чисел выполнены равенства (34) и, следовательно, неверно (35). Если следовать логике Вашего рассуждения, то необходимо доказать, что эти значения не могут выступать в качестве коэффициентов при младших степенях $Z$ в разложении $X^n$ и $Y^n$. Именно в этом доказательстве и должно быть использовано, что Вы имеете дело именно с возведением в степень $n$, а не с какой-либо другой операцией. Но у Вас нет даже намека на подобное рассуждение.

Интересно еще, почему Вы думаете, что Ваш подход является "новым"? Вы отразили это в названии темы и еще раз упомянули в последнем сообщении. Вы изучали все те тысячи неудачных попыток доказательства, которые за много лет предпринимали подобные Вам? Или считаете, что никто из них не знал про системы счисления с произвольным основанием и не умел раскладывать одно число по степеням другого? Откуда подобные заявления?

Добавлено спустя 1 час 12 минут 5 секунд:

fon valery, я напишу Вам, как может выглядеть начало Вашего рассуждения, с которым еще можно что-то обсуждать. Заодно, когда на форум придет очередной ферматист, будет на что сослаться в качестве примера.

Итак, придерживаемся следующих правил: логические шаги нумеруем (для удобства ссылок), делаем логические шаги достаточно маленькими (чтобы было очевидно, откуда пошла ошибка), пишем только верные утверждения (по крайней мере, нумеруем только верные формулы, чтобы на них можно было ссылаться без опасения). Кроме того, не разжевываем очевидные вещи (здесь не дураки сидят), не стремимся довести формулировки до идеала (это можно делать, если уже есть доказательство, а его пока нет; если все согласны с утверждением, то движемся дальше). Стараемся делать рассуждения возможно проще и понятнее. Кроме того, стараемся пояснить смысл каждого пункта: это либо утверждение, справедливость которого мы сейчас докажем, либо определение, вводящее новые переменные, либо что-то еще. И лаконичнее: использование слов сводим к минимуму. Мы не роман пишем, можно ограничить все слова использованием небольшого числа стандартных штампов.

В скобках курсивом пишу предполагаемую свою реакцию на каждый пункт.

Начинаем.

1. Даны взаимно простые натуральные числа $X,Y,Z$ и целое число $n\ge 4$, для которых
$X^n+Y^n=Z^n$ (1)

((PAV) Это наше исходное предположение, которое мы желаем привести к противоречию).

2. Разложим $X^n$ и $Y^n$ по степеням $Z$ и обозначаем соответствующие коэффициенты буквами $a$ и $b$:
$X^n=a_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+a_2Z^2+a_1Z+a_0$ (2)
$Y^n=b_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+b_2Z^2+b_1Z+b_0$ (3)
где $0\le a_i<Z$ и $0\le b_i<Z$.

((PAV) Разумеется, никто не запрещает раскладывать одни числа по степеням других. Эти формулы верны по определению, так как являются определениями коэффициентов $a$ и $b$).

3. Справедливы соотношения
$a_0+b_0=Z$, $a_1+b_1=a_2+b_2=\ldots=Z-1$ (4)

((PAV) Согласен, это выводится из формулы (1) и было доказано ранее; принимается).

4. Выполнено равенство
$(a_2+b_2)Z^2+(a_1+b_1)Z+(a_0+b_0)=Z^3$ (5)

((PAV) Очевидно из (4); принимается).

5. Выполнено неравенство
$X^3+Y^3\ne Z^3$ (6)

((PAV) Очевидно; можно, конечно, сослаться на Эйлера для важности, хотя довольно очевидно, что это прямо следует из (1), причем не только для целых чисел.).

6. Разложим $X^3$ и $Y^3$ по степеням $Z$ и обозначим соответствующие коэффициенты буквами $c$ и $d$:
$X^3=c_2Z^2+c_1Z+c_0$ (7)
$Y^3=d_2Z^2+d_1Z+d_0$ (8)
где $0\le c_i<Z$ и $0\le d_i<Z$.

((PAV) Это всего лишь определения величин $c$ и $d$ аналогично п.2).

7. Выполнено неравенство
$(c_2+d_2)Z^2+(c_1+d_1)Z+(c_0+d_0)\ne Z^3$ (9)

((PAV) Очевидное следствие формул (6), (7) и (8)).



Ну вот и все, что я к текущему моменту понимаю. Все умещается на один экран и состоит только из верных утверждений, на которые можно ссылаться без опасений. Никаких внутренних вспомогательных предположений, без которых можно было бы обойтись. Похоже, что Вы желаете привести к противоречию соотношения (5) и (9)? Пожалуйста, пишите свои рассуждения. Только помните, что каждое мини-утверждение Вашего доказательства должно быть законченным предложением, пронумерованным и следовать из предыдущих. Лучше всего, если будете писать их по-одному, каждое следующее - только после того, как согласовано предыдущее. Нам торопиться некуда.

[Алексей К.]

PAV писал(а):

Пожалуйста, пишите свои рассуждения.

PAV, тосле того, как Вы проделали сей титанический труд, уже легко просить Вас о мелочи ---
поправить (у автора) пару длиннющих формул, из-за которых вся тема,
в т.ч. Ваше последнее сообщение, становятся нечитабельными.
Ну, либо как-то стребовать от автора. Есть же способы...
Или это я один мучусь, а автор и не знает проблемы?
Страшные знаки умножения стерпеть легче...

[PAV]

Напишите номера формул, которые надо разбить. У меня широкий экран и все влезает.

[Алексей К.]

Надо же, ещё шире чем мой, который здесь дают чертёжникам!
Полагаю, на этой странице всё портит формула (36).

[PAV]

Так лучше?