Вопросы по КТП: Пескин-Шредер

[Maximpg]

Вопрос по первой главе русского издания (2001 года) учебника "Введение в квантовую теорию поля" Пескина, Шрёдера. Страницы 25-26.

Из полуэвристических соображений ищется и даже правильно находится сечение рассеяния процесса $e^++e^-\rightarrow\mu^++\mu^-$ через промежуточный виртуальный фотон. Спины исходных частиц считаются направленными вдоль оси $z$. Амплитуда процесса

$$M \propto \langle\mu^+\mu^-|H_I|\gamma\rangle^\mu \langle\gamma|H_I|e^+e^-\rangle_\mu $$

Для фотона поляризация соответствует единичному моменту импульса в данном направлении, т.к. гамильтониан взаимодействия $H_I$ должен этот момент сохранять:

$$\langle\gamma|H_I|e^+e^-\rangle_\mu \propto e(0,1,i,0)$$

Аналогично получается матричный элемент для мюонов, простым поворотом на угол рассеяния $\theta$:

$$\langle\gamma|H_I|\mu^+\mu^-\rangle^\mu \propto e(0, cos\, \theta, i, -sin\, \theta)$$

Комплексно спрягая и перемножая скалярно, получим

$$M=-e^2(1+cos\,\theta)$$

Вопрос: почему тогда в итоге для состояния с определенным моментом импульса по оси $z$ он вообще может обнулиться, т.е. произойдет излучение мюона и антимюона перепендикулярно первоначальному направлению?

Они (Пескин&Шрёдер) еще оговаривают, что направление не может смениться на противоположное. А перпендикулярное?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите то, что необходимо для понимания вопроса, в текстовом виде (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- кто такие "они"? заодно полезно было бы дать ссылку на источник, из которого выдернута эта страница;
- дайте теме более содержательное название.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Cos(x-pi/2)]

Дело в том, что в квантовой механике понятие "состояние с определенным моментом импульса по оси такой-то" не означает, будто объект или система не может быть обнаружена в "состоянии с моментом импульса по другой оси".

Система не может быть обнаружена только в тех состояниях, которые квантово-механически ортогональны заданному состоянию. Т.е., например, если система находится в заданном базисном состоянии, то равна нулю вероятность обнаружить её в других состояниях из того же набора базисных состояний. В том числе ортогональны друг другу состояния с разной величиной момента импульса; так что, например, система с моментом 1 не может обнаружиться с моментом 0.

По принципу суперпозиции заданное состояние может быть разложено по любому набору взаимно ортогональных базисных состояний; коэффициенты разложения это соответствующие амплитуды вероятности. В частности, состояние с заданными величиной момента и проекцией момента на ось $z$ может быть разложено по состояниям с той же величиной момента и разными значениями проекции момента на другую ось.

Простой нерелятивистский пример с моментом 1/2: электрон (его орбитальный момент пусть равен нулю, так что весь момент это спин) с проекцией спина $+1/2$ на ось $z$ обнаруживается с вероятностью 1/2 в состоянии с проекцией спина $+1/2$ на ось $x$ и с такой же вероятностью - в состоянии с проекцией спина $-1/2$ на ось $x.$ А в состоянии с противоположной проекцией на ось $z,$ т.е. $-1/2,$ он не обнаруживается; это состояние ортогонально исходному.

Вы можете также решить нерелятивистскую КМ-задачку про момент $1:$ если объект находится в состоянии $|m\rangle$ с проекцией момента $m$ на ось $z$ (где в случае момента $1,$ как известно, $m=1,0,-1),$ то какова амплитуда вероятности $\langle m'|m\rangle$ найти его в состоянии с проекцией момента $m'$ на ось, составляющую угол $\theta$ с осью $z\,?$

Оказывается, в частности,

$\langle 1'|1\rangle = (1/2)(1+\cos \theta),$

$\langle -1'|1\rangle = (1/2)(1-\cos \theta).$

В Пескине и Шрёдере речь идёт об ультрарелятивистском случае, там нет состояний с проекцией момента 0, а в остальном, что касается момента, картина похожая. Показанное на рисунке начальное состояние $|RL\rangle,$ определённое относительно оси $z,$ может с некоторой вероятностью переходить в состояния, определённые относительно повёрнутой оси: $|RL\rangle$ или $|LR\rangle.$ И аналогично начальное $|LR\rangle$ отн. оси $z$ может перейти в $|RL\rangle$ или $|LR\rangle$ отн. повёрнутой оси.