Изучаю применения рядов Тейлора. Вот пример: проверить, что при
выполняется
. Проблема с последней стадией проверки. Я избавился от степени синуса с помощью тригонометрического тождества, разложил всё в ряд Тейлора. Подумал, что поможет и вычел ряд косинуса из ряда левой части, получив формулу общего члена разницы левой и правой части. Теперь, имея эту разницу, остаётся доказать, что при любом
из области она больше нуля. Как это сделать?
Мои догадки в том, что, хоть и члены ряда знакопеременны, но при любом иксе каждый следующий по модулю меньше предыдущего, что, учитывая положительный первый член, свидетельствует о положительности всего ряда, а значит и верности неравенства.