koliakrasnoffДа как-то странно было называть линии на сфере "прямыми". Всем было ясно, что они кривые. Понятно, что у кривого треугольника с углами не все в порядке.
К неэвклидовой геометрии подошли с неожиданной стороны, заменив одну из аксиом планиметрии. Это, вообще говоря, было сделано в попытке показать, что ее как раз нельзя заменить, т.е. начнутся противоречия. И сначала открыли неевклидовую геометрию Лобачевского, которая менее очевидна, чем сферическая, т.к. у нас нет для нее такой-же очевидной поверхности, как для сферической.
Но, в общем, я думаю, вы правы. Одно дело - это рассматривать геометрию на искривленной поверхности, вложенной в трехмерное пространство. Совсем другое - рассматривать "внутреннюю геометрию", не привлекая для этого дополнительных измерений и представлений о поверхностях, вложенных в пространство более высокой размерности. Не факт, что это одно и то же, кстати. И более того, это в общем случае и не одно и то же, т.к. второй способ более общий. Например, с помощью него можно рассматривать геометрии, которым вообще никакие поверхности не соответствуют.
Нам проще думать в терминах искривленных поверхностей в плоском трехмерном пространстве с использованием трех координат
. Но можно описать эту же поверхность, наложив координаты
только на нее. "Платой" за отбрасывание координаты
становится то, что координаты
на поверхности получаются криволинейными, и они описывают расстояния на поверхности в разных местах по разному. Поэтому в таких координатах появляется, так сказать, переменный масштаб в разных точках (метрика, метрический тензор). Это функция координат.
Описание неэвклидовой геометрии через
и "масштаб" очень общее. Оно более универсально, чем представление через
. Но до него еще нужно было догадаться.
