Группа симметрий пятиконечной звезды

[bayah]

Из книги "Симметрия" Вейля:

Цитата:

Если задана пространственная конфигурация $\mathfrak{F}$, то автоморфизмы, не изменяющие $\mathfrak{F}$, образуют некоторую группу $\Gamma$, и эта группа дает нам точное описание той симметрии, которой обладает $\mathfrak{F}$. Само пространство обладает полной симметрией, соответствующей группе всех автоморфизмов, всех подобий. Симметрия любой фигуры в пространстве описывается некоторой подгруппой этой группы. Рассмотрим, например, знаменитую пентаграмму, с помощью которой доктор Фауст прогонял дьявола Мефистофеля. Она переводится в себя пятью собственными вращениями вокруг центра $O$ на углы, кратные $\frac{360^\circ}{5}$(включая тождественное преобразование), и пятью отражениями от прямых, соединяющих $O$ с пятью вершинами. Эти десять операций образуют группу, и эта группа говорит нам о том, какого рода симметрией обладает пентаграмма.

Собственно вопросы:
1). Что означает не изменяющие пространственную конфигурацию $\mathfrak{F}$?
2). Почему только десять операций? Если, например, взять автоморфизм, который определяется как отражение, но которое меняет местами только две определенные точки относительно заданной прямой. Это же еще один автоморфизм сохраняющий пространственную конфигурацию звезды (пентаграммы)?
Полагаю тут дело в дополнительном требовании - сохранении расстояния между любыми двумя точками пространства? Тогда мой пример автоморфизма не подходит, так отраженная пара точек уже не имеет прежние расстояния относительно других точек, так? Но вроде бы нигде это требование не оговаривалось, и само понятие автоморфизма вроде не означает выполнения этого свойства?

[Sender]

bayah в сообщении #1560957 писал(а):

1). Что означает не изменяющие пространственную конфигурацию $\mathfrak{F}$?

Полагаю, это означает, что расстояние между двумя любыми точками $\mathfrak{F}$ совпадает с расстоянием между их образами.

[svv]

См. примечание на стр. 14 из вступительной статьи Яглома к книге Вейля:

Цитата:

Согласно схеме Клейна, о которой уже говорилось выше, каждое пространство характеризуется своей «группой автоморфизмов», — совокупностью преобразований, сохраняющих рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур. Для евклидовой геометрии роль таких «автоморфизмов» играют движения, а для аффинной геометрии — так называемые аффинные преобразования, характеризующиеся тем, что они переводят прямые линии в прямые линии.

А также стр. 49 (целиком) и 50 (первый абзац).

Цитата:

Автоморфизм переводит фигуру в такую, которая, говоря словами Лейбница, «неотличима от нее, если каждую из этих двух фигур рассматривать саму по себе».

При этом множество преобразований, при которых прообраз и образ «неотличимы», зависит от пространства. Например, чтобы в векторном пространстве говорить о «различимости» непараллельных векторов разной длины, должно быть введено понятие длины вектора.

[alcoholist]

svv в сообщении #1560987 писал(а):

должно быть введено понятие длины вектора

разве длина не появляется сама как инвариант действия той самой выбранной "группы автоморфизмов"?

[bayah]

svv в сообщении #1560987 писал(а):

Согласно схеме Клейна, о которой уже говорилось выше, каждое пространство характеризуется своей «группой автоморфизмов», — совокупностью преобразований, сохраняющих рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур.

alcoholist в сообщении #1560989 писал(а):

разве длина не появляется сама как инвариант действия той самой выбранной "группы автоморфизмов"?

Кстати, да, получается группа автоморфизмов и задает пространство?

svv
У меня тут возникло новое непонимание, как обычно :). Я знаю такое определение автоморфизма:

Цитата:

Гомоморфизмами называются отображения между группами, которые сохраняют операции в этих группах, т.е. переводят произведения элементов в исходной группе в произведение образов этих элементов во второй группе.
$(H, *_H)$, $(G, *_G)$ - две группы
$\varphi: H \to G$ - отображение
Тогда $\varphi$ - гомоморфизм, если $\forall x, y \in H \varphi(x *_H y) = \varphi(x) *_G \varphi(y)$.
$\varphi$ - автоморфизм, если дополнительно $H = G$ и $\varphi$ - биекция.

Тут, кстати, мне не ясно, если $H = G$, то значит ли, что и групповая операция та же самая, то есть $*_H = *_G$? Но это ладно. Главный вопрос в другом. В рассматриваемом примере с пентаграммой рассматривается подмножество всех автоморфизмов:

bayah в сообщении #1560957 писал(а):

Само пространство обладает полной симметрией, соответствующей группе всех автоморфизмов, всех подобий. Симметрия любой фигуры в пространстве описывается некоторой подгруппой этой группы.

1). А почему вообще рассматривается группа движений как подгруппа всех автоморфизмов, а не просто группа сама по себе?
2). И что за групповая операция тогда задана на пространстве относительно которой мы и имеем это множество всех автоморфизмов подгруппа в котором есть наше множество движений определяющих симметрию пентаграммы? То есть, что за операция $*_H$ и что это за множество $H$ вообще?

[B@R5uk]

Множество движений пространства, сохраняющих ориентацию базиса, расстояния и положение одной точки образует группу. Очевидно, что матрица такого движения будет иметь определитель, равный единице. Поэтому получается, что эта группа изоморфна специальной ортогональной группе $\operatorname{SO}\left(n\right)$. В случае, когда требование на сохранение ориентации базиса отсутствует, всё становится чуть-чуть сложнее, так как определитель лишь по модулю равен единице и может быть отрицательным; я так понимаю, это будет ортогональная группа $\operatorname{O}\left(n\right)$ (никогда бесконечными группами особо не интересовался, если не прав, то специалисты сейчас поправят). Группа группа вращений плоскости $\operatorname{SO}\left(2\right)$ абелева, а интересующая вас группа $\operatorname{O}\left(2\right)$ не абелева и содержит в качестве подгрупп все группы диэдра, в том числе группу $\operatorname{D}_{10}$, с которой начались ваши вопросы.

Интересно, что $\operatorname{SO}\left(3\right)$ содержит $\operatorname{O}\left(2\right)$ в качестве подгруппы. А группа автоморфизмов группы $\operatorname{D}_{10}$ имеет порядок 20 и равна:

$$\operatorname{Aut}\left(\operatorname{D}_{10}\right)=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^5=b^4=e,\;ab=ba^2\;\right\rangle=\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_5\rtimes\mathbb{Z}_4\right)$$

[alcoholist]

bayah в сообщении #1561046 писал(а):

Кстати, да, получается группа автоморфизмов и задает пространство?

Предпочтительнее термин геометрия (=множество + некоторая группа биекций этого множества на себя), напр., евклидова, гиперболическая и т.д. Собственно Тёрстон так и писал: геометрии.

-- Пн июл 25, 2022 23:35:46 --

bayah в сообщении #1561046 писал(а):

то есть $*_H = *_G$

если $G=H$, то $*_G$ и $*_H$ это одно и то же:)))

[bayah]

B@R5uk
Так а автоморфизмы какой группы дают группу $\operatorname{D}_{10}$?

То есть группа автоморфизмов множества движений пространства, сохраняющих расстояния и положение одной точки дает группу $\operatorname{O}\left(2\right)$, подгруппой которой уже является $\operatorname{D}_{10}$?
Я правильно понял?

[alcoholist]

bayah в сообщении #1561160 писал(а):

То есть группа автоморфизмов множества движений пространства, сохраняющих расстояния и положение одной точки дает группу $\operatorname{O}\left(2\right)$

При чем тут какие-то автоморфизмы? $\operatorname{O}\left(2\right)$ это группа изометрий плоскости. То есть фразу можно переформулировать так:

Цитата:

подгруппа группы преобразований плоскости, сохраняющих расстояния и положение одной точки, это $\operatorname{O}\left(2\right)$, стабилизатор точки в группе автоморфизмов евклидовой геометрии

Вероятно, вы путаете "автоморфизмы геометрии", то есть преобразования
"сохраняющие рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур"
и автоморфизмы группы. Слово одно -- "автоморфизм", но смысл совершенно разный.

[bayah]

alcoholist в сообщении #1561196 писал(а):

Вероятно, вы путаете "автоморфизмы геометрии", то есть преобразования
"сохраняющие рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур"
и автоморфизмы группы. Слово одно -- "автоморфизм", но смысл совершенно разный.

Похоже что так. Я думал, что геометрия рассматривается как группа и тогда автоморфизмы сохраняющие свойства фигур и образуют какую-то группу автоморфизмов.
А где по "автоморфизмам геометрий" почитать? Я что-то такого значения понятия автоморфизм не нашел.

[Sender]

bayah в сообщении #1561202 писал(а):

Я думал, что геометрия рассматривается как группа и тогда автоморфизмы сохраняющие свойства фигур и образуют какую-то группу автоморфизмов.

По-моему, тут некая путаница самой группы с её действием на множестве объектов геометрии.

[alcoholist]

bayah в сообщении #1561202 писал(а):

Я думал, что геометрия рассматривается как группа

Разумеется, геометрия не является группой. Однако, например, $\mathbb{R}^2$ является группой своих сдвигов:)) Так называемое однородное пространство. Хотя обычно размерность "группы автоморфизмов геометрии" больше размерности самой геометрии.

-- Ср июл 27, 2022 10:27:50 --

bayah в сообщении #1561202 писал(а):

Я что-то такого значения понятия автоморфизм не нашел

Вы же сами цитировали

svv в сообщении #1560987 писал(а):

каждое пространство характеризуется своей «группой автоморфизмов», — совокупностью преобразований, сохраняющих рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур

[alcoholist]

wiki писал(а):

A model geometry is a simply connected smooth manifold $X$ together with a transitive action of a Lie group $G$ on $X$ with compact stabilizers.

A model geometry is called maximal if $G$ is maximal among groups acting smoothly and transitively on $X$ with compact stabilizers. Sometimes this condition is included in the definition of a model geometry.

A geometric structure on a manifold $M$ is a diffeomorphism from $M$ to $X/\Gamma$ for some model geometry $X$, where $\Gamma$ is a discrete subgroup of $G$ acting freely on $X$; this is a special case of a complete $(G,X)$-structure. If a given manifold admits a geometric structure, then it admits one whose model is maximal.

То есть $G$ это "автоморфизмы геометрии" $(G,X)$. В упомянутом случае $n$-мерной евклидовой геометрии стабилизаторы точек это $\mathrm{O}_n$.

[Someone]

bayah в сообщении #1561202 писал(а):

А где по "автоморфизмам геометрий" почитать? Я что-то такого значения понятия автоморфизм не нашел.

"Автоморфизм" — это некоторый универсальный термин. Если на некотором множестве $X$ задана какая-нибудь структура, то автоморфизмы этой структуры — это преобразования (взаимно однозначные отображения) $f\colon X\to X$, согласованные со структурой. В частности, автоморфизмы группы — это преобразования, согласованные с групповыми операциями, автоморфизмы трёхмерной аффинной геометрии — преобразования, отображающие прямые в прямые и плоскости в плоскости, автоморфизмы евклидовой геометрии дополнительно должны сохранять расстояния между точками (изометрии) и т.п.

[alcoholist]

Someone в сообщении #1561217 писал(а):

автоморфизмы евклидовой геометрии дополнительно должны сохранять расстояния между точками (изометрии)

студент-первокурсник способен показать, что любая изометрия является аффинным преобразованием