Система Пелль-подобных уравнений

[EUgeneUS]

Еще один вопрос из "Петадекатлона..."

Пусть есть два линейно независимых Пелль-подобных уравнения:

$$ a_1 y_1^2 - b x^2 = c_1 \eqno{1}$$

$$ a_2 y_2^2 - b x^2 = c_2 \eqno{2}$$

оба уравнения имеют тривиальное решение $(1,1)$.

Гипотеза: не существует нетривиальных решений этой системы уравнений.

Вопрос: имеются ли какие-то известные факты, из которых следует справедливость этой гипотезы? Хотя бы для некоторых наборов коэффициентов...

[maxmatem]

EUgeneUS
можете посмотреть тут , помоему там рассматривается общий случай как у Вас . См в конце статьи.
https://cyberleninka.ru/article/n/uravnenie-pellya-i-sistemy-uravneniy-vtoroy-stepeni-s-parametrami/viewer

[EUgeneUS]

maxmatem
Спасибо.
Но там вроде бы о другом. Или я не до конца разобрался

[maxmatem]

EUgeneUS
Мне показалось , что в этой статье как раз таки идет разговор о разрешимости данной системы в зависимости от параметров входящих в нее. Думал это вам поможет.

(Оффтоп)

Я бы лучше попросил консультации у nnosipov

[nnosipov]

EUgeneUS
Мне думается, что Ваша гипотеза довольно сложна (если она вообще верна, здесь нужны компьютерные эксперименты). Вот пример работы на подобную тему: А. Ю. Нестеренко, Нахождение целочисленных решений системы связанных уравнений Пелля, Матем. заметки, 2009, том 86, выпуск 4, 588–600 В этой работе для обоснования алгоритма нахождения всех решений используются неэлементарные оценки снизу для линейной формы от нескольких логарифмов.

maxmatem
В той статье, что Вы цитируете, речь идет о более простой задаче (а именно, все сводится к решению одного уравнения типа Пелля). Забавно, что в списке литературы есть ссылка на статью А. Спивака, которому я в свое время и посоветовал написать хоть какой-то алгоритм решений уравнений типа Пелля; но алгоритм этот самый простейший и неоптимальный.

[mihiv]

Из существования решения (1,1) следует $ a_1-a_2=c_1-c_2$. Вычтем из первого уравнения второе, после сокращения на $a_1-a_2$ получим $ y_1^2-y_2^2=1$ наверное, я что-то не понял.

[nnosipov]

EUgeneUS
Сформулируйте точно Вашу гипотезу. Каковы неизвестные, каковы параметры, рассматривается ли система уравнений или два уравнения по отдельности. А то и в самом деле окажется что-нибудь тривиальное.

[EUgeneUS]

nnosipov
Спасибо за ссылку на Нестеренко. У него в билиографии, кстати есть ссылка на работу Беннета с многообещающим названием.

mihiv
nnosipov

Вот такие уравнения интересуют:

$$15y^2_1 - 8 x^2 = 7$$

$$10y_2^2 - 8 x^2 = 2$$

$$8x^2 - 6 y_3^2 = 2$$

1. Каждое из них имеет бесконечную серию решений.
2. Если вычесть, например, второе из первого и сократить на $5$, то получится $3y^2_1 - 2 y_2^2 = 1$, отнюдь не тривиальное.
3. И вообще, если будем складывать и вычитать, чтобы в результате осталось две переменных, то будем каждый раз получать Пёлль-подобные уравнения, у которых будет тривиальное решение $(1,1)$.
4. Что интересует. Возьмем систему из двух любых уравнений из этого перечня. Интересует количество решений у системы.
Гипотеза - нет решений, кроме тривиального.

[mathematician123]

EUgeneUS в сообщении #1561032 писал(а):

Вот такие уравнения интересуют:

Рассмотрим систему из второго и третьего уравнения. $8x^2 - 2 = 6 y_3^2$, $8x^2 + 2 = 10y_2^2$. Перемножим и получим $16x^4-1 = 15 (y_2 y_3)^2$. Похожее уравнение обсуждалось здесь. Может быть, и здесь решение известно.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1561032 писал(а):

Возьмем систему из двух любых уравнений из этого перечня. Интересует количество решений у системы.

То есть, у каждой такой системы три неизвестных, а гипотеза состоит в том, что единственное решение --- это $(1,1,1)$.

Насколько мне известно, в общем случае решать такие системы трудно (см. статью выше). Хотя иногда решение может оказаться элементарным, если повезет.

Поскольку у Вас всего-то три системы, попробуйте поискать у них нетривиальные решения. Если их не окажется на большом диапазоне (что реально проверить, ибо решения каждого уравнения редки), то гипотезу можно будет считать правдоподобной и двигаться дальше. А уж потом как-нибудь сыщется статья, где будет указан какой-нибудь алгоритм решения подобных систем диофантовых уравнений (неэлементарный, конечно, но это не так важно).

-- Пн июл 25, 2022 21:02:07 --

mathematician123 в сообщении #1561033 писал(а):

Перемножим и получим $16x^4-1 = 15 (y_2 y_3)^2$.

Вот, что-то в этом духе нужно делать, здесь все сведется к уравнениям Туэ.

[mathematician123]

Нашёл статью. Из теоремы 6 следует, что у рассматриваемой здесь системы конечное количество решений. Там всё сводится к нескольким уравнениям Туэ. А в 4 разделе решаются некоторые конкретные системы. Для решения уравнений Туэ используется PARI/GP.

[lel0lel]

mathematician123 в сообщении #1561053 писал(а):

Нашёл статью
. Из теоремы 6 следует, что у рассматриваемой здесь системы конечное количество решений.

И их все легко можно найти или показать, что их нет.

[lel0lel]

Применим приём из Теоремы $9$ вышеуказанной статьи к решению

EUgeneUS в сообщении #1561032 писал(а):

Вот такие уравнения интересуют:
$15y_1^2 - 8 x^2 = 7$,
$10y_2^2 - 8 x^2 = 2$,
$8x^2 - 6 y_3^2 = 2$

Из второго и третьего получим $3 y_3^2+ 5 y_2^2=8 x^2$. Найдём полное решение этого уравнения методом секущих, подобно тому, как ищем полную параметризацию пифагорофых троек. Если не ошибся:

$$3 (5 k^2 - 10 k m - 3 m^2)^2 + 5 (5 k^2 + 6 k m - 3 m^2)^2=8 (5 k^2 + 3 m^2)^2$$

Подставим найденное решение во второе $5y_2^2 - 4 x^2 = 1$, можно и в третье уравнение. Получим:
$5 (5 k^2 + 6 k m - 3 m^2)^2-4 (5 k^2 + 3 m^2)^2 = 1$. Полученное уравнение не имеет решений по модулю $5$.

Первое уравнение в этом случае не потребовалось.

[mathematician123]

lel0lel
Система уравнений имеет решение $x = y_1 = y_2 = y_3 = 1$. Куда оно пропало?

[lel0lel]

Да, других тоже точек не достаёт. Видимо, надо так записывать общее решение

$$y_3=(5 k^2 - 10 k m - 3 m^2)p/q, y_2= (5 k^2 + 6 k m - 3 m^2)p/q, x= (5 k^2 + 3 m^2)p/q$$