Система Пелль-подобных уравнений

[mathematician123]

lel0lel в сообщении #1561239 писал(а):

Видимо, надо так записывать общее решение

В нашем случае $x, y_2, y_3$ попарно взаимнопростые. Для пифагоровых троек полное решение трёхпараметрическое, но если потребовать, чтобы переменные были взаимнопростыми, то решение получается двухпараметрическим. Может быть, для уравнения $3y_3^2 + 5y_2^2 = 8x^2$ то же самое? Так что нужно выяснить, есть ли какие-то решения уравнения $3y_3^2 + 5y_2^2 = 8x^2$ с попарно взаимнопростыми $x, y_2, y_3$ кроме $(1, 1, 1)$, которые отсутствуют в параметризации

lel0lel в сообщении #1561225 писал(а):

$$3 (5 k^2 - 10 k m - 3 m^2)^2 + 5 (5 k^2 + 6 k m - 3 m^2)^2=8 (5 k^2 + 3 m^2)^2$$

[lel0lel]

mathematician123 в сообщении #1561245 писал(а):

есть ли какие-то решения уравнения $3y_3^2 + 5y_2^2 = 8x^2$ с попарно взаимнопростыми $x, y_2, y_3$ кроме $(1, 1, 1)$, которые отсутствуют в параметризации...

Есть решение $3\times 151^2 +5\times 461^2 = 8\times 376^2.$ И уравнение $3 m^2 + 5 k^2 = 376$ не имеет решений. В параметризации есть только $(8\times 376, 8\times 461, 8\times 151)$.

[mathematician123]

Оказывается, вопрос решается теоремой 5 в статье

mathematician123 в сообщении #1561053 писал(а):

Нашёл статью

В этой теореме дано общее решение уравнения $Ax^2 + By^2 = Cz^2$.