Найти предел последовательности

[lostraf]

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^2 + 3n^2}$$

Вроде бы один из приемов решения подобных задач - это теорема "о двух милиционерах": мне нужно подобрать две сходящиеся к одному числу последовательности $a_n$ и $b_n$ такие, что $a_n \leq x_n \leq b_n$. В качестве $b_n$ я решил взять $2n \cdot \frac{2n}{(2n)^2 + 3n^2}$, поскольку последнее слагаемое в явной записи $x_n$ является самым большим. Фактически, $b_n = \frac{4}{7}$. Снизу можно было бы по идее оценить $a_n = 2n \cdot \frac{1}{1+3n^2}$, однако же эта последовательность стремится к нулю, что нам не подходит. С другой стороны, можно было бы попробовать доказать монотонность (с чем я тоже испытываю трудности, так как не совсем понимаю, как определить знак разности $x_{n+1} - x_n$). Судя по явным подсчетам значений 1-ого и 2-ого членов последовательности, $x_n$ должна убывать. Тогда можно было бы воспользоваться теоремой Вейерштрасса, которая гласит, что ограниченная монотонная последовательность сходится к своей точной грани (в данном случае, по моему предположению, к инфимуму - 0).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- изложите детальнее собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 25.06.2022, 16:52 --

lostraf
Интегральная сумма.

[lostraf]

Правильно ли я привел мою сумму к интегральной?

$$\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2n} \cdot \frac{\frac{k}{2n}}{\frac{k^2}{(2n)^2}+\frac{3}{4}} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{x_k}{x_k^2 + \frac{3}{4}} \cdot \Delta x_k$$

[Lia]

Можно и так.