Матожидание биноминального равно матожиданию "хотя бы один"?

[upgrade]

Случайная величина $\xi$ принимает значения $x_k=k (0 \leqslant k \leqslant n)$ с вероятностью $p_k = C_k^n p^k q^{n-k}$.
Математическое ожидание равно
$M\xi=\sum\limits_{k=0}^{n}k C_k^n p^k q^{n-k}$ (с. 26 В.А. Попов "Теория вероятностей. Часть 2. Случайные величины")
Если вглядеться в сумму, то это сумма матожиданий событий "случайная величина примет ровно одно значение $k$ из $n$". Но сумма матожиданий вероятностей этих событий - матожидание события "случайная величина примет хотя бы одно значение $k$ из $n$"
Т.е. математическое ожидание события "случайная величина примет хотя бы одно значение $k$ из $n$" равна математическому ожиданию биноминального распределения?

[Otta]

upgrade в сообщении #1557981 писал(а):

это сумма матожиданий событий "случайная величина примет ровно одно значение $k$ из $n$".

Можно это как-то по-русски? с учетом того, что термина "матожидание события" нет в природе?

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку пр-ка Ясненько...)
У события нет матожидания. Матожидание может быть у случайной величины, зависящей от этого события. Часто в качестве такой величины принимают величину, равную 1, если событие произошло, и 0, если нет. Но в данном случае величина другая. Она равна k, если случайная величина $\xi=k$, где k заранее задано, и нулю в противном случае. А видимость парадокса возникает оттого, что её сопоставляют с величиной, принимающей значение 1, если событие, а именно "случайная величина примет хотя бы одно значение $k$ из $n$" имеет место.

[upgrade]

Так, извиняюсь, неверно сформулировал.
Попытаюсь пояснить:
Случайные величины $\xi_1...\xi_n$ каждая принимает одно значение - $1$ либо $0$.
$p(\xi_i=1)=p$
$p(\xi_i=0)=1-p=q$
Вероятность того, что ровно одна любая $\xi_i$ примет значение $1 = p^1q^{n-1}$, математическое ожидание $=1\cdot C_1^n p^1q^{n-1}$
Вероятность того, что ровно две любые $\xi$ примут значение $1 = p^2q^{n-2}$, математическое ожидание $=2\cdot C_2^n p^2q^{n-2}$
Ровно три, матожидание: $3\cdot C_3^n p^3 q^{n-3}$
и так далее

Сумма всех математических ожиданий вышеуказанных с.в.
$M\xi=\sum\limits_{k=0}^{n}k C_k^n p^k q^{n-k}$
т.е. формула из учебного пособия.
Но чтобы получить математическое ожидание случайной величины, которая принимает хотя бы одно любое значение $k$ из $n$, надо точно также сложить все математические ожидания случайных величин - ровно одной, принимающей значение $1$, ровно двух, принимающих значение $1$ каждая и так далее.

Таким образом, математическое ожидание с.в. $\xi$, которая принимает значения $x_k=k (0 \leqslant k \leqslant n)$ с вероятностью $p_k = C_k^n p^k q^{n-k}$
равно математическому ожиданию случайной величины, которая принимает хотя бы одно любое значение $k$ из $n$.

[Otta]

upgrade в сообщении #1557989 писал(а):

Вероятность того, что ровно одна любая $\xi_i$ примет значение $1 = p^1q^{n-1}$, математическое ожидание $=1\cdot p^1q^{n-1}$
Вероятность того, что ровно две любые $\xi$ примут значение $1 = p^2q^{n-2}$, математическое ожидание $=2\cdot C_2^n p^2q^{n-2}$
Ровно три, матожидание: $3\cdot C_3^n p^3 q^{n-3}$

Матожидание чего (в конце каждого предложения), какой с.в.?

[upgrade]

Otta
Видимо такой:
$\xi=\sum\limits_{i=0}^n \xi_i$
$\xi_i$ принимает значение либо $1$ либо $0$

$M(\xi=1)=\sum\limits_{i=0}^n \xi_i=1\cdot C_n^1 p^1q^{n-1}$

$M(\xi=2)=\sum\limits_{i=0}^n \xi_i=2\cdot C_n^2 p^2q^{n-2}$
...

[Otta]

$(\xi= \operatorname{const})$ это событие, а не случайная величина. Для событий матожидания не определяют.
upgrade
Вам надо, как и что там получается (хотя я думаю, в учебнике это есть), или Вы что-то придумали и оно с чем-то не сходится? Если первое - мне быстрее рассказать. Если второе - что же, это более почетное занятие.

И пишите числа сочетаний как надо. У вас этажи попутаны. :)

[upgrade]

Otta в сообщении #1557994 писал(а):

Если первое - мне быстрее рассказать.

Я пытаюсь.

[Otta]

upgrade в сообщении #1557995 писал(а):

Я пытаюсь.

Я не тороплю, это всего лишь вопрос, который мог быть не риторическим ))

[upgrade]

Otta
Это - $1\cdot C_n^1 p^1q^{n-1}$ - математическое ожидание того, что произойдет ровно одно событие из $n$ - ровно одна какая то из $\xi_1...\xi_n$ примет значение $1$
Это - $2\cdot C_n^2 p^2q^{n-2}$ - математическое ожидание того, что произойдет ровно два события из $n$ - ровно две каких то из $\xi_1...\xi_n$ примут значение $1$

[Otta]

upgrade в сообщении #1557997 писал(а):

математическое ожидание того, что произойдет ровно одно событие из $n$

Событие!!
А надо с.в.
Вернитесь на пару разделов назад и почитайте про определение матожидания.

-- 20.06.2022, 17:51 --

Otta в сообщении #1557994 писал(а):

$(\xi= \operatorname{const})$ это событие, а не случайная величина. Для событий матожидания не определяют.

А то так и будем по кругу ходить.

[upgrade]

Может так
$\xi_i$ принимает значение либо $1$ либо $0$ с вероятностью $p$, $q=1-p$
$M(\sum\limits_{i=0}^n \xi_i=1)=1\cdot C_n^1 p^1q^{n-1}$
$M(\sum\limits_{i=0}^n \xi_i=2)=2\cdot C_n^2 p^2q^{n-2}$

...

$M\xi=\sum\limits_{k=0}^{n}k C_n^k p^k q^{n-k}=M(\sum\limits_{i=0}^n \xi_i \leqslant n)$

[Otta]

Что-то там стало равно чему-то (в Вашем случае с.в. в скобочках после матожидания) - это тоже событие.

Вы чего хотите-то?

[upgrade]

Otta в сообщении #1558002 писал(а):

Вы чего хотите-то?

Мне кажется, вот где-то здесь:
$M\xi=\sum\limits_{k=0}^{n}k C_n^k p^k q^{n-k}=M(\sum\limits_{i=0}^n \xi_i \leqslant n)$ связь дискретного и непрерывного распределений.

[Otta]

upgrade
Вам кажется.
Во-первых, там нет ни одного непрерывного распределения.
Во-вторых, совсем неясно, как можно какую-то связь вытащить из выкладок, к тому же неверных. (Как было матожидание события, так и осталось)

Мне вот кажется, что Вам матожидание удобно отождествлять с вероятностью, чтобы иметь возможность делать те же операции.