Точки на эллиптической кривой

[MChagall]

$E$ - эллиптическая кривая.
$\tilde{E}/\mathbb{F_p}$ - редукция по модулю $p$. Пусть при данном $p$ редукция нерасщеплённая мультипликативная.
Я пытаюсь найти $#\tilde{E}(\mathbb{F_{p^n}})$, т.е. число точек кривой $\tilde{E}/\mathbb{F_p}$ в поле из $p^n$ элементов.

Я знаю, что часть, оставшаяся после удаления сингулярной точки, изоморфна подгруппе элементов единичной нормы в мультипликативной группе квадратичного расширения $\mathbb{F_{p^n}}$. По моим подсчётам это $p^n+1$. Учитывая удалённую точку, получаю $p^n+2$ точки.

Но если вытащить это количество из локальной дзета-функции, то получается, что количество точек зависит от чётности $n$: при нечётном $p^n+2$ точки, при чётном - $p^n$.
Как же чётность влияет на количество точек?

[svv]

Вы, скорее всего, хотели написать так:

Цитата:

$E$ - эллиптическая кривая.
$\tilde{E}/\mathbb{F}_p$ - редукция по модулю $p$. Пусть при данном $p$ редукция нерасщеплённая мультипликативная.
Я пытаюсь найти $#\tilde{E}(\mathbb{F}_{p^n})$, т.е. число точек кривой $\tilde{E}/\mathbb{F}_p$ в поле из $p^n$ элементов.

[MChagall]

Да. Вроде, так и набрал, но что-то не так отобразилось

[Slav-27]

Это потому, что нерасщеплённая двойная $\mathbb F_p$-точка при расширении до $\mathbb F_{p^n}$ может расщепиться.

[Someone]

(MChagall)

MChagall в сообщении #1557538 писал(а):

Да. Вроде, так и набрал, но что-то не так отобразилось

Не так. Обратите внимание на расположение фигурных скобок после команды \mathbb.
Кстати, зачем там символ "#"?

[nnosipov]

(Someone)

Someone в сообщении #1557693 писал(а):

Кстати, зачем там символ "#"?

Там backslash пропущен, ТС хотел набрать $\#{X}$ (число элементов множества $X$).

[MChagall]

(Оффтоп)

nnosipov верно написал про #

-- 17.06.2022, 19:34 --

Slav-27
А почему так будет происходить?
Пытаюсь понять и засомневался правильно ли я понимаю ситуацию.
$\tilde{E}$ задаётся уравнением $\tilde{F}(x,y)=0$. При каких-то $x_0,y_0\in \mathbb{F}_p$ имеем $\tilde{F}'_x(x_0,y_0)=\tilde{F}'_y(x_0,y_0)=0$. Параметризуем $x=x(t), y=y(t)$ так, что $\tilde{F}(x,y)=\tilde{F}(x(t),y(t))$. При каких-то $t_1, t_2: x(t_1)=x(t_2)=x_0, y(t_1)=y(t_2)=y_0$. И вот если $x'(t_1), x'(t_2), y'(t_1), y'(t_2)\in \mathbb{F}_p$, редукция мультипликативная расщеплённая, если нет, то нерасщеплённая.
Можете, пожалуйста, пояснить как на самом деле

-- 17.06.2022, 19:43 --

Ведь в точке с мультипликативной редукцией мы имеем две касательные?

[Slav-27]

Всё так, но вот это утверждение

MChagall в сообщении #1557524 писал(а):

часть, оставшаяся после удаления сингулярной точки, изоморфна подгруппе элементов единичной нормы в мультипликативной группе квадратичного расширения $\mathbb F_{p^n}$.

верно только когда двойная точка нерасщеплённая над $\mathbb F_{p^n}$. Вам известно только что она нерасщеплённая над $\mathbb F_p$, над $\mathbb F_{p^n}$ она может расщепиться или не расщепиться (над алгебраическим замыканием точно расщепится).

-- 17.06.2022, 21:11 --

У кривой $x^2+y^2=0$ над $\mathbb Q$ $0$ -- нерасщеплённая двойная точка, а над $\mathbb Q(\sqrt{-1})$ -- расщеплённая.

[MChagall]

Ага, получается что точка, нерасщеплённая над $\mathbb{F}_p$, расщепляется в квадратичном расширении $\mathbb{F}_p$, то есть над $\mathbb{F}_{p^2}$, и остаётся расщеплённой над расширениями $\mathbb{F}_{p^2}$, то есть над полями $\mathbb{F}_{p^{2k}}$. Верно?
Тогда вопрос: почему расщепляется над квадратичным расширением и не расщепляется над другими (нечётными)?

[Slav-27]

Рассмотрим кривую $y^2=x^2(x-a)$ над полем $k$. Понятно ли, при каких $a\in k$ у неё расщеплённая двойная точка и при каких нет?

[MChagall]

Особая точка $(0,0)$, параметризация $x=t^2+a,y=t^3+at$, $(0,0)$ при $t=-\sqrt{a}$.
$x'=2t, y'=3t^2+a$. То есть $\sqrt{a}\in k$ - точка расщеплённая.

[Slav-27]

Вот и хорошо, осталось понять, что если $a\in\mathbb F_p$, $\sqrt a\not\in\mathbb F_p$, то $\sqrt a\in\mathbb F_{p^n}$ $\Longleftrightarrow$ $n$ чётно.

Если $p\ne 2,3$, то разбором этого случая можно закончить, потому что мультипликативная редукция всегда так выглядит (вейерштрассова форма); если 2 или 3, то не знаю.

[MChagall]

Slav-27 в сообщении #1557786 писал(а):

мультипликативная редукция всегда так выглядит

А почему?
У этой формы дискриминант ноль, и $c_4=16a^2$, то есть при $a$, не делящимся на $p$ - это мультипликативная форма. Но почему любая мультипликативная - такая?

[Slav-27]

Потому что редукция мультипликативна -- это значит, что у неё (у редукции) одна особая точка и она простая двойная. Теперь пишем исходную кривую в вейерштрассовой форме и смотрим, какие там особые точки.

[MChagall]

MChagall в сообщении #1557789 писал(а):

Вот и хорошо, осталось понять, что если $a\in\mathbb F_p$, $\sqrt a\not\in\mathbb F_p$, то $\sqrt a\in\mathbb F_{p^n}$ $\Longleftrightarrow$ $n$ чётно.

Это вроде понятно. Если $\sqrt a\in\mathbb F_{p^n}$, то $\mathbb F_{p}(\sqrt a)\subset \mathbb F_{p^n}$, значит, $\mathbb F_{p^n}$ есть какое-то расширение $L$ поля $\mathbb F_{p}(\sqrt a)$ и $n=[\mathbb F_{p^n}:\mathbb F_{p}]=[L:\mathbb F_{p}(\sqrt a)]*[\mathbb F_{p}(\sqrt a):\mathbb F_{p}]=[L:\mathbb F_{p}(\sqrt a)]*2$

-- 18.06.2022, 00:30 --

Slav-27 в сообщении #1557791 писал(а):

Теперь пишем исходную кривую в вейерштрассовой форме

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$
Особые точки: $(x_1,0),(x_2,0)$, где $x_1,x_2$ - корни $3x^2+2ax+b$.
$x_1=x_2=-\frac{a}{3}\Rightarrow b=\frac{a^2}{3}$
Ну после постановки $(-\frac{a}{3},0)$ в кривую получаем просто полный куб. Что-то не то делаю?