Точки на эллиптической кривой

[Slav-27]

MChagall в сообщении #1557793 писал(а):

Что-то не то делаю?

Не то: во-первых, $y^2=x^3+ax+b$; и особые точки тоже неправильно ищете.

[MChagall]

Особые точки ведь $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=0$?
$F(x,y)=y^2-x^3-ax-b$

[Slav-27]

Этого недостаточно, они ещё должны быть на кривой.

[MChagall]

Вроде, так и делаю.
В нашем случае
$F'_x=-3x^2-a, F'_y=2y$. Получаем $y=0, x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{a}{3}}$. Чтобы точка была единственной $a=0, x=0$. Подставляем и получаем $b=0$. И $y^2=x^3$. Что-то явно не то, ведь это капс. Что у меня не так?
А как мы вообще можем из уравнения без $x^2$ получить с $x^2$?

[Slav-27]

Ну вот, начали эллиптическими кривыми, а закончили бедой с поиском особых точек.

MChagall в сообщении #1557822 писал(а):

Чтобы точка была единственной $a=0, x=0$

Нет! Попробуйте $y^2=x^3-3x+2$.

[MChagall]

Понял, $x_{1,2}$ должны быть корнями кратности 2 многочлена $x^3+ax+b$
При $x=\sqrt{-\frac{a}{3}}$ получаем $y^2=x^3+ax-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}$. И это как раз двойная точка с двумя касательными, верно? То есть расщеплённая точка.
При $x=-\sqrt{-\frac{a}{3}}$ получаем $y^2=x^3+ax+\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}$. А здесь не так, точка нерасщеплённая. Верно?

Но как теперь прийти к виду $y^2=x^2(x-a)$?

-- 18.06.2022, 16:26 --

Конечно, сделать замену $x'=x+\sqrt{-\frac{a}{3}}$ в первом случае и получить $y^2=x^3+3\sqrt{-\frac{a}{3}}x^2$
и $x'=x-\sqrt{-\frac{a}{3}}$ и $y^2=x^3-3\sqrt{-\frac{a}{3}}x^2$ во втором

[Slav-27]

MChagall в сообщении #1557840 писал(а):

Понял, $x_{1,2}$ должны быть корнями кратности 2 многочлена $x^3+ax+b$

Да.

MChagall в сообщении #1557840 писал(а):

Конечно, сделать замену

Да!

MChagall в сообщении #1557840 писал(а):

При $x=\sqrt{-\frac{a}{3}}$ получаем $y^2=x^3+ax-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}$. И это как раз двойная точка с двумя касательными, верно? То есть расщеплённая точка.
При $x=-\sqrt{-\frac{a}{3}}$ получаем $y^2=x^3+ax+\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}$. А здесь не так, точка нерасщеплённая. Верно?

Not even wrong.
Я напоминаю, что всё это происходит над полем ненулевой характеристики, там непонятно, как отличать $\sqrt n$ от $-\sqrt n$.

[MChagall]

Тогда $x_{1,2}$ - просто корни полинома $-3x^2-a$. Если они лежат в поле $\mathbb{F}_p$, то это особая точка. Если нет, то особой точки нет. Верно?

[Slav-27]

Неверно.
По условию особая точка у редукции по модулю $p$ есть, и она простая двойная. Это равносильно следующему: если уравнение редукции по модулю $p$ записать в вейерштрассовой форме $y^2=x^3+ax+b$, то правая часть будет иметь вид $(x-u)^2(x-v)$, где $u,v\in\mathbb F_p$. Теперь заменой координаты $x$ можно превратить уравнение в $y^2=x^2(x-w)$, $w\in\mathbb F_p$. Так задача сводится к случаю, который мы уже разобрали.

[MChagall]

Спасибо! Но ведь правда что $x_{1,2}$ есть $u_1$ и $u_2$?

[Slav-27]

Думаю, что да.