Задача трех тел–отличный тест для методов небесной механики

[SibInventor]

Известная проблема небесной механики - "Задача трех тел", которой занимались великие математики: Эйлер, Лагранж, Якоби, Пуанкаре и многие другие, в общем случае не имеет аналитического решения.
Пуанкаре доказал, что поведение системы отличается крайне высокой чувствительностью к начальным условиям задачи - координатам и скоростям тел, а задача трех тел, как пример системы с динамическим хаосом, имеет бесконечное множество решений.
Аналитическое решение найдено только для нескольких простейших и сильно ограниченных начальных условий.
Я не буду повторять историю решения проблемы трех тел и перечислять многочисленных авторов исследований по этой теме, она достаточно подробно изложена в литературе, например в Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_трёх_тел), там же даны ссылки.
Цель моего короткого поста иная: я хочу показать, что даже на простом домашнем компьютере, при наличии хорошего алгоритма, можно достаточно точно численно решать практически любые варианты периодических решений из галереи сербского ученого Милована Шувакова, а также великолепной галереи китайских математиков из Шанхайского университета Сяомина Ли и Шицзюня Ляо. Суперкомпьютер для этого не требуется.
От этой работы, кроме красивых картинок, можно извлечь и практическую пользу для астрономии. Компьютерное моделирование движения планет Солнечной системы, после тщательной отработки алгоритмов расчета гравитационного взаимодействия тел на известных решениях «задачи трех тел», решается легко и очень точно, но уже для задачи N тел и в трехмерном приближении. Такой опыт компьютерного моделирования движения планет, Солнца и точного расчета прецессии орбиты Меркурия я уже представил в одном из своих постов. Для меня задача трех тел – не проблема, а прекрасный тест для проверки точности алгоритма расчета гравитационного взаимодействия тел.
Ниже привожу некоторые примеры моих многочисленных расчетов двумерных задач из опубликованных галерей.
Программа изначально создана для расчетов и анимации движения планет в 3D, поэтому предлагаю обсудить возможные варианты поиска и отображения периодического траекторий тел в трехмерном пространстве, такие работы в доступной литературе не найдены. Кроме того, можно обсудить основные факторы, определяющие погрешность моделирования гравитационного взаимодействия тел и алгоритмы повышения точности при минимальных затратах расчетного времени.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- а в чем, собственно, состоит предмет обсуждения?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

На всякий случай: то, что уже сейчас написано в стартовом сообщении, скажем так, очевидно. При этом приведенные примеры, хотя и выглядят красиво, для оценки их корректности совершенно неинформативны.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»

-- 08.06.2022, 18:21 --

SibInventor в сообщении #1556720 писал(а):

в общем случае не имеет аналитического решения.

Строго говоря, это неверно. Решение непредставимо в элементарных функциях, но оно есть (Карл Сундман, 1907-1912 гг.). Другое дело, что с точки зрения получения конкретных решений оно совершенно бесполезно.

SibInventor в сообщении #1556720 писал(а):

Цель моего короткого поста иная: я хочу показать, что даже на простом домашнем компьютере, при наличии хорошего алгоритма, можно достаточно точно численно решать практически любые варианты периодических решений из галереи сербского ученого Милована Шувакова, а также великолепной галереи китайских математиков из Шанхайского университета Сяомина Ли и Шицзюня Ляо. Суперкомпьютер для этого не требуется.

А зачем это доказывать? Решение задачи трех тел сводится к системе не более чем 18 скалярных дифференциальных уравнений первого порядка. Даже при использовании самых изощренных методов численного интегрирования это задача для персоналки уже лет тридцать как минимум, более того, использование суперкомпьютеров/кластеров тут никакого выигрыша не даст (разве что можно будет считать параллельно сразу много моделей).

SibInventor в сообщении #1556720 писал(а):

От этой работы, кроме красивых картинок, можно извлечь и практическую пользу для астрономии

А именно? Нет, какую-то пользу извлечь можно, но именно практическую, боюсь, уже нет. То, что можно было, извлекли в 60-70-х годах прошлого века.

SibInventor в сообщении #1556720 писал(а):

Компьютерное моделирование движения планет Солнечной системы, после тщательной отработки алгоритмов расчета гравитационного взаимодействия тел на известных решениях «задачи трех тел», решается легко и очень точно

Что такое "очень точно"? Каким образом это оценивалось, что получилось?

SibInventor в сообщении #1556720 писал(а):

Такой опыт компьютерного моделирования движения планет, Солнца и точного расчета прецессии орбиты Меркурия я уже представил в одном из своих постов.

Да, было дело, из чего сразу же следует, что с точностью у вас все довольно плохо.

Но в целом все напоминает рассказ о том, как удобно пользоваться таблицей умножения вместо многократного сложения чисел. Да, удобно, но вы несколько опоздали с этой интересной новостью, к тому же пока ничего, кроме общих фраз, не написали.

[SibInventor]

Pphantom
Спасибо за перемещение моей темы и за интересные вопросы. И, хотя я нахожусь в большой растерянности (слишком много вопросов к моей скромной работе), попробую ответить за несколько приемов.
Только есть проблемка. Я на форуме человек новый и пока не разобрался как делать цитаты из вопросов на которые отвечаю. На других форумах после выделения нужного текста выскакивает подсказка, а здесь только копирование. Пожалуйста подскажите мне как это делается и я последовательно отвечу на все ваши замечания. Приношу свои извинения и заранее благодарен за помощь.

[Pphantom]

SibInventor в сообщении #1556832 писал(а):

Я на форуме человек новый и пока не разобрался как делать цитаты из вопросов на которые отвечаю.

Выделяете нужный участок текста, нажимаете на кнопку "Вставка" в нижнем правом углу сообщения, часть которого собираетесь цитировать.

[SibInventor]

Pphantom
Спасибо за подсказку, отвечаю на многочисленные вопросы и замечания по порядку. И. чтобы вопросы не плодились в геометрической прогрессии, в каждом сообщении буду отвечать только на один вопрос. Тем более, что мы находимся в разных часовых поясах, в Новосибирске на четыре часа больше.
1.

Pphantom в сообщении #1556824 писал(а):

Решение непредставимо в элементарных функциях, но оно есть (Карл Сундман, 1907-1912 гг.). Другое дело, что с точки зрения получения конкретных решений оно совершенно бесполезно.

С этим замечанием я абсолютно согласен. Действительно трудно считать аналитическим решением выражение из практически бесконечного числа членов, но формально Вы правы. Впредь буду более осторожен в высказываниях.
Хотя это научный форум, но объем текстов ограничен 20000 символов, поэтому я, к великому сожалению, не смогу отвечать на все замечания достаточно развернуто. А лаконичные ответы вызывают недопонимание и еще большую волну вопросов. Ссылки на другие источники запрещены, видео для отображения 3D анимаций движения тел и планет по-видимому отсутствует.
В результате большой и не простой работы мне удалось найти собственные решения некоторых проблем небесной механики и хотелось бы донести их до широкого круга читателей по возможности с применением графического материала. Поэтому прошу отнестись к моей работе менее скептически и не выносить ее в "Пургаторий" из-за непродуманных высказываний, а дать возможность исправить положение и защитить свою позицию.

[SibInventor]

Pphantom в сообщении #1556824 писал(а):

А зачем это доказывать? Решение задачи трех тел сводится к системе не более чем 18 скалярных дифференциальных уравнений первого порядка. Даже при использовании самых изощренных методов численного интегрирования это задача для персоналки уже лет тридцать как минимум, более того, использование суперкомпьютеров/кластеров тут никакого выигрыша не даст (разве что можно будет считать параллельно сразу много моделей)

Хотя фраза "уже лет тридцать как минимум" мне не совсем понятна, с процитированным замечанием можно поспорить. В галерее китайских математиков из Шанхайского университета Сяомина Ли и Шицзюня Ляо тысячи вариантов периодических решений "задачи трех тел". Они используют суперкомпьютер "Тяньхэ-2", который занимает вторую строчку в рейтинге самых мощных суперкомпьютеров. С помощью этой великолепной техники по своим алгоритмам они выуживают периодические решения, перебитая миллионы комбинаций начальных скоростей и, возможно, решая каждый раз эти самые скалярные дифференциальные уравнения. Критерием поиска является выполнение условия, что решение в конечной точке цикла отличается от начального менее чем на 10^-6 в интервале 200 условных секунд интегрирования. Информацию о времени интегрирования систем уравнений я не нашел.
Такую задачу я однозначно не потяну на домашнем компьютере. Но у меня нет цели поиска периодических решений. Я привел примеры повтора лишь некоторых их вариантов, среднее время на расчет одного цикла траектории тел (одной картинки) у меня занимает менее 5 минут (точнее 270 секунд), без учета прорисовки изображения или анимации движения тел.
Подчеркну, что китайские ученые рассчитывали всего лишь один цикл периодического решения одного варианта начальных координат и скоростей, но делали это с высочайшей точностью. Повторив их расчеты я пытаюсь показать, что мой алгоритм во всяком случае не хуже, чем у них. О погрешности расчетов в цифрах поговорим в ответе на один из следующих вопросов.

[SibInventor]

Pphantom в сообщении #1556824 писал(а):

Что такое "очень точно"? Каким образом это оценивалось, что получилось?

Поговорим о точности расчетов, это основной вопрос, который я бы хотел осветить в теме, поэтому так ее и назвал "Задача трех тел–отличный тест для методов небесной механики".
Основным критерием численного решения систем дифференциальных уравнений движения является их точность. Другими словами: для полной уверенности в результатах интегрирования необходимо оценить погрешность на всех этапах проведения расчетов.
В нашем случае погрешность расчетов определяется следующими факторами:
1. Погрешность начальных данных: погрешность задания начального положения тел и начальных скоростей.
2. Погрешность применяемого метода численного интегрирования или комбинации таких методов.
3. Погрешность округлений- погрешность от ограниченного представления действительных чисел в компьютере.
4 Погрешность методов обработки результатов интегрирования, имеется ввиду, например, определение угла поворота линии апсид
квазиэллипса орбиты Меркурия при радиусе кривизны в десятки миллионов километров.
Решение уравнений движения для тел одинаковой массы, в частности задачи трех тел, неустойчиво и поведение системы отличается крайне
высокой чувствительностью к начальным условиям задачи. Поэтому для тестирования применяемых методов я выбрал известную задачу трех тел, которая имеет простое аналитическое решение - треугольник Лагранжа. Начальные данные задаются в виде точной формулы.
Массы тел одинаковые и равны массе Солнца. Начальные расстояния от центра масс равны составляют 6 астрономических единиц. Постоянная гравитации взята из справочников. Критерием оценки погрешности является значение разности координат и скоростей в верхней начальной точке и после каждого цикла обращения тел.
На первом рисунке показан результат обычным методом Рунге-Кутты и обычное представление чисел в компьютере 15-16 значащих цифр
Как видно из картинки после прохождения 5-6 циклов погрешность увеличилась так, что тела стали разбегаться.



На втором рисунке показан расчет траектории тех же тел, но имеющий другой метод расчета и представление чисел увеличено до 28-29 разрядов. Время расчета системы с шагом 600 секунд составляет порядка 150 секунд, а интервал интегрирования превышает 100 лет.
Требования к изображениям на форуме ограничено шириной 800 пикселей, поэтому картинки не четкие, но все равно можно разобрать, что погрешность расчета координат и скоростей после интервала 100 лет не превышает 10^-12 %, что соответствует долям метра соответствующих орбит планет. На интервале 200 лет погрешность только на один порядок хуже. Согласитесь, что для моделирования движения планет Солнечной системы больший интервал и не требуется.

[upgrade]

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

Согласитесь, что для моделирования движения планет Солнечной системы больший интервал и не требуется.

Ну а если кому то вздумается запустить космический корабль и посчитать его траекторию в Солнечной системе, какая погрешность допустима?

[DimaM]

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

Согласитесь, что для моделирования движения планет Солнечной системы больший интервал и не требуется.

200 лет - это меньше одного периода обращения Плутона вообще-то.

[Pphantom]

SibInventor в сообщении #1556872 писал(а):

В результате большой и не простой работы мне удалось найти собственные решения некоторых проблем небесной механики и хотелось бы донести их до широкого круга читателей по возможности с применением графического материала. Поэтому прошу отнестись к моей работе менее скептически

Давайте будем выражаться прямо. Шансы на то, что вы получили что-то разумное, в данный момент кажутся строго нулевыми. Однако можно понадеяться, что чудеса иногда бывают - но при условии, что вы будете излагать что-то содержательное, а не лить воду, иногда добавляя в нее глупости. Поэтому исходите из того, что времени на изложение от потопа у вас нет - либо в ближайшем сообщении появится что-то действительно содержательное, либо тема отправится вслед за предыдущей (собственно, уже отправилась - я не увидел сообщение от 10:52, в котором все-таки стало появляться какое-то содержание, но увидев, вернул ее обратно).

SibInventor в сообщении #1556873 писал(а):

С помощью этой великолепной техники по своим алгоритмам они выуживают периодические решения, перебитая миллионы комбинаций начальных скоростей и, возможно, решая каждый раз эти самые скалярные дифференциальные уравнения.

Именно так. Суперкомпьютер им нужен не для решения одной задачи, а для построения большой сетки моделей.

SibInventor в сообщении #1556873 писал(а):

Подчеркну, что китайские ученые рассчитывали всего лишь один цикл периодического решения одного варианта начальных координат и скоростей, но делали это с высочайшей точностью.

Вообще-то пока из сказанного информация про "высочайшую точность" ниоткуда не следует. Впрочем, я знаю эту работу (вернее, цикл работ), там в целом все в порядке, но вы этот вывод никак не обосновали.

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

Поговорим о точности расчетов, это основной вопрос, который я бы хотел осветить в теме

Ну слава богам, а то я уже решил, что до этого вы никогда не доберетесь.

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

Решение уравнений движения для тел одинаковой массы, в частности задачи трех тел, неустойчиво и поведение системы отличается крайне
высокой чувствительностью к начальным условиям задачи. Поэтому для тестирования применяемых методов я выбрал известную задачу трех тел, которая имеет простое аналитическое решение - треугольник Лагранжа.

Первое утверждение в целом правильно. Однако совершенно непонятно, почему, исходя из него, вы выбрали чуть ли не самый простой тест из всех возможных.

Впрочем, раз даже в этом случае на двойной точности распад системы стал визуально заметен через несколько оборотов... в общем, это никуда не годится.

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

На первом рисунке показан результат обычным методом Рунге-Кутты

Что такое "обычный метод Рунге-Кутты"?

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

На втором рисунке показан расчет траектории тех же тел, но имеющий другой метод расчета

Что такое "другой метод расчета"?

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

но все равно можно разобрать, что погрешность расчета координат и скоростей после интервала 100 лет не превышает 10^-12 %, что соответствует долям миллиметра соответствующих орбит планет.

Во-первых, числа надо набирать правильно. Во-вторых, при заявленных параметрах системы это не доли миллиметра, а метр. Ну и наконец, подобный результат при вычислениях с 28-29 значащими цифрами - это убийство воробья атомной бомбой. Это означает, что вычислительный алгоритм и/или его реализация по-прежнему никуда не годятся, а визуально пристойный результат достигается только за счет громадного запаса точности (причем опять-таки для случая, в котором все предельно просто).

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

Согласитесь, что для моделирования движения планет Солнечной системы больший интервал и не требуется.

Не соглашусь.

[Geen]

SibInventor в сообщении #1556880 писал(а):

представление чисел увеличено до 28-29 разрядов.

Позвольте полюбопытствовать - каким именно образом?

[kotenok gav]

Скажу, что для тех воробьёв, которые здесь на картинках были, не нужен даже Рунге-Кутта и диффуры (ну, точнее, это по сути и есть метод Эйлера, но до него можно легко догадаться и без знания о диффурах) - хватает простой рогатки в виде $s_i(t+h)=s_i(t)+h\times v_i(t)$, $v_i(t+h)=v_i(t)+h\times a_i(t)$, $a_i(t)=G\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{M_j(s_j(t)-s_i(t))}{|s_j(t)-s_i(t)|^3}$, которая считается просто через цикл. И таким методом легко считать взаимодействие хоть $100500$ объектов.

(Оффтоп)

Кстати, а ваш метод умеет обрабатывать столкновения тел?

[SibInventor]

kotenok gav в сообщении #1556886 писал(а):

Кстати, а ваш метод умеет обрабатывать столкновения тел?

Спасибо за вопрос по существу. С учетом того, что в "задаче трех тел" тела считаются точеными, проблема столкновений решается простым делением шага интегрирования пополам до тех пор, пока не будет выполнено условие проверки. Погрешность на целом шаге интегрирования не должна отличаться от половинного шага более чем на заданную величину, например $10^{-25}$, затем шаг интегрирования снова плавно увеличивается, все время находясь в заданных пределах.

-- 09.06.2022, 20:10 --

Pphantom в сообщении #1556884 писал(а):

Что такое "обычный метод Рунге-Кутты"?

Метод Рунге-Кутты (иногда называют метод Рунге-Кутта) для решения системы дифференциальных уравнений второго порядка это один из наиболее широко применяемых методов решения подобных задач. Подробное описание метода можно найти, например у Г.Корн и Т.Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров" на странице 708. Реализация этого метода не представляет никаких проблем практически на любом языке программирования даже для студентов.

[Geen]

SibInventor в сообщении #1556912 писал(а):

Погрешность на целом шаге интегрирования не должна отличаться от половинного шага более чем на заданную величину, например $10^{-25}$

Позвольте снова полюбопытствовать - это как?