Вопрос про матрицы конечного порядка.

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась интересная задача: матрица $\operatorname {A}$ для которой $A^k = E$. Давайте рассмотрим матрицу $A+A^2+A^3+...+A^k = B$. Тогда будет $AB = B$. Как так? Это же получается, что матрица $A$ - это единичная матрица. Помогите разобраться в этом.

[nnosipov]

Maxim19 в сообщении #1556479 писал(а):

Давайте рассмотрим матрицу $A+A^2...A^k = B$.

Подробнее напишите. Что там в многоточии?

[Maxim19]

Исправил.

[Lia]

Maxim19 в сообщении #1556479 писал(а):

матрица $\operatorname {A}$ для которой $A^k = E$.

Для каких $k$? Кванторов не хватает.
И что нужно сделать/доказать? В чем задача?

[nnosipov]

Умножьте равенство $A+A^2+\ldots+A^k=B$ на $A$ слева и упростите с учетом равенства $A^k=B$.

-- Вс июн 05, 2022 20:28:38 --

Lia в сообщении #1556485 писал(а):

Для каких $k$? Кванторов не хватает.

Видимо, "существует такое натуральное $k$, что $A^k=B$". Я так понял.

-- Вс июн 05, 2022 20:29:29 --

Maxim19 в сообщении #1556479 писал(а):

Это же получается, что матрица $A$ - это единичная матрица.

Почему Вы так считаете?

[Lia]

nnosipov в сообщении #1556486 писал(а):

Видимо, "существует такое натуральное $k$, что $A^k=B$". Я так понял.

Я тоже. А ТС, судя по

Maxim19 в сообщении #1556479 писал(а):

матрица $A$ - это единичная матрица

иначе.

[Maxim19]

Есть же теорема о единственности единичной матрицы?

[nnosipov]

Maxim19 в сообщении #1556488 писал(а):

Есть же теорема о единственности единичной матрицы?

Есть. И что?

[Maxim19]

Вопрос исчерпан, спасибо за помощь.

-- 05.06.2022, 17:41 --

Подскажите пожалуйста, как найти значение $k$, если известна сама матрица $A$? На сколько я понял, $B = 0$. Но дальше я продвинуться не могу. Можете дать подсказку?

[iifat]

nnosipov в сообщении #1556486 писал(а):

с учетом равенства $A^k=B$

$A^k=E$

-- 06.06.2022, 10:54 --

Maxim19 в сообщении #1556499 писал(а):

Насколько я понял, $B = 0$

А как вы это, если не секрет, поняли?

[nnosipov]

iifat в сообщении #1556547 писал(а):

$A^k=E$

Да, там выше у меня опечатки.

Maxim19 в сообщении #1556499 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как найти значение $k$, если известна сама матрица $A$?

Вы бы все-таки точно сформулировали задачу, которую пытаетесь решить. Я полагал, что речь идет о такой:

Задача. Матрица $A$ такова, что $A^k=E$ для некоторого натурального $k$. Положим $B=A+A^2+\ldots+A^k$. Докажите, что $AB=B$.

-- Пн июн 06, 2022 13:39:36 --

Maxim19 в сообщении #1556499 писал(а):

На сколько я понял, $B = 0$.

Уж не считаете ли Вы, что равенство $AB=B$ возможно только при $A=E$ или $B=O$?

[Maxim19]

Действительно, не только при двух случаях, грубая ошибка. На счёт задачи, то она заключалась совершенно в другом. Я размещу её в другую тему, ведь мой вопрос был не по задаче.

[Lia]

Maxim19
Еще раз. Приведите точную формулировку задачи. Точную и полную.

-- 07.06.2022, 04:33 --

Maxim19 в сообщении #1556671 писал(а):

Действительно, не только при двух случаях, грубая ошибка. На счёт задачи, то она заключалась совершенно в другом. Я размещу её в другую тему, ведь мой вопрос был не по задаче.

О боги. А это все было про что, если задача в другом?

[Maxim19]

Есть матрица $A$, а также есть значение $k$, для которого $A^k=E$, необходимо показать, что $\det(A+A^2+A^3....+A^k)$ имеет целочисленное значение.
$A=\begin{bmatrix} 4/9 & 1/9 &-8/9 \\ 7/9 & 4/9 &4/9 \\ 4/9 & -8/9& 1/9 \end{bmatrix}$.
Необходимо найти $k$.
Для начала можно вынести $1/9$ из матрицы.
И получить $A=1/9\cdot\begin{bmatrix} 4 & 1 &-8 \\ 7 & 4 &4 \\ 4 &-8 & 1 \end{bmatrix}$
Пусть $B=A+A^2+A^3+...+A^k$
Определитель матрицы $B$ равен нулю, ведь сама матрица $A$ имеет значение определителя, равное 1. А так как матрица в определителе равна произведению себя на матрицу $A$, то и определитель остаётся неизменным, что возможно только при равном нулю. Мы показали, что определитель матрицы $B$ целочислен, однако, как это использовать? Я в лоб решил и нашёл $k$, оно равно 4.

[Lia]

Maxim19 в сообщении #1556673 писал(а):

$A^k=E$,... зная матрицу $A$, найти значение $k$.

Если матрица $A$ известна, то все остальные условия лишние.
Вспомните формулировку - напишите, пожалуйста.