Догонялки

[Ignatovich]

Первая частица со скоростью $\upsilon$ догоняет вторую, скорость которой u, таким образом, что вектор скорости первой частицы составляет с линией, соединяющей обе частицы угол $\alpha$ . Определите угол $\beta$ между вектором скорости второй частицы и линией, соединяющей обе частицы, при котором перемещение второй частицы до момента встречи минимально.
(задачку принесли студенты с олимпиады, олимпиада уже закончилась, итоги подведены).

[rascas]

Скорее всего я не правильно понял эту задачу и не понял её олимпиадности, но дам свой ответ

$\sin\beta=\frac{v}{u}\sin\alpha$

[Ignatovich]

rascas
Видимо, Вы предполагали, что векторы скорости постоянны. Но этого нет в условии.

[wrest]

Ignatovich в сообщении #1555342 писал(а):

при котором перемещение второй частицы до момента встречи минимально.

Перемещение это расстояние между положениями второй точки в начале задачи и в конце (в момент встречи). Т.е. минимизировать надо не пройденный путь, а именно перемещение, верно?

[Ignatovich]

wrest
Верно - так написано в условии.

[svv]

Вектор скорости второй частицы должен быть направлен противоположно вектору скорости первой частицы.

[wrest]

svv
Наверное должно быть ещё какое-то условие, отвечающее за то, что частицы в принципе встретятся. При прямом угле $\alpha$ и равных скоростях, если $\beta$ тоже будет прямой, частицы, очевидно, не встретятся вообще, хотя при других $\beta$ (например равном 180, то есть направленным на первую частицу) встретятся...

[svv]

Да, надо потребовать, чтобы первая частица «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.
Ещё я бы оговорил, что мы ищем угол $\beta$, при котором нужное перемещение минимально, при постоянном начальном расстоянии $r$ между частицами. А то мало ли... Хотя это $r$ в ответ и не входит.

[wrest]

svv в сообщении #1555542 писал(а):

Да, надо потребовать, чтобы первая частица действительно «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.

Для встречи это необязательно же. Скорость увеличения асстояния между частицами, если скорость второй частицы ноль, равна скорости первой на косинус её угла то есть необходимое условие встречи это что-то вроде $u>v \cos (\pi- \alpha)$

[svv]

Хорошо, тогда я просто оговорюсь, что решал задачу в таком предположении.
$\mathbf v_1\cdot(\mathbf r_2-\mathbf r_1)>0$

[Ignatovich]

svv в сообщении #1555542 писал(а):

Да, надо потребовать, чтобы первая частица «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.

Мне кажется, что следует рассматривать случай, когда угол между векторами скорости первой и второй частицы является острым - это в большей степени соответствует глаголу "догоняет".

[svv]

Но тогда я не смогу направить вектор скорости второй частицы противоположно вектору скорости первой — а именно при таком угле достигается минимум перемещения.

Впрочем, основная часть решения (в предположении $\mathbf v_1\cdot(\mathbf r_2-\mathbf r_1)>0$) всё равно выживает. Результат такой, что перемещение второй частицы тем меньше, чем больше модуль относительной скорости частиц. А дальше уже можно накладывать различные дополнительные ограничения на векторы скорости.

[wrest]

svv
Похоже что вы правы.
Причем, в этом в вашем случае встреча происходит на прямой, изначально соединявшей точки. Или по крайней мере предел положений туда сходится. А сходится он (при вашем методе) в одно и тоже место, а именно в то, в котором точки встречаются если просто движутся навстречу друг другу (то есть оба угла ноль).
Так что минимум перемещения зависит только от соотношения скоростей и находится, соответственно, на расстоянии $\dfrac{u}{u+v}$ от точки $u$ (в предположении единичной длины начального расстояния)
Доказательств нету, все в экселе, по графикам (численный эксперимент). Надеюсь что с квадрантами арктангенсаи и всем таким прочим разобрался нормально, по крайней мере траектории похожи на правду.
Например, вот траектория для $v=2u; \alpha=65^{\circ};L=10$ (расстояние 10)


Синяя точка $v$, оранжевая соответственно $u$
Шаг построения довольно грубый, так что кажется что спирали пересекаются раньше чем надо.

[wrest]

Ну и вдогонку, для $\alpha=80^{\circ}$

Подозреваю также, что соединяющая точки прямая вращается вокруг точки встречи.

Остаются случаи когда противоположное движение не даёт результата ($\alpha>90^{\circ}$), видимо их надо рассматривать отдельно, потому что точки при некоторых углах $\beta$ все-таки встречаются, так что и минимум перемещения существует.

Например для $v=2u;\alpha=90^{\circ}; \beta=0^{\circ}$ (бету я отсчитываю в другую сторону для своего удобства, ноль это направление на первую точку) картинка такая

[Ignatovich]

wrest
Спасибо за картинки, их хотелось увидеть . Они согласуются с аналитическими выражениями для модулей векторов перемещения частиц за время их движения до встречи:
$\l_2$=$\frac{L_0}{\sqrt{1+(\upsilon/u)^2-2(\upsilon/u)\cos(\alpha-\beta)}}$.
Величина $L_0$ - расстояние между частицами в начальный момент. Углы измерены между вектором соответствующей скорости и вектором, проведенным от частицы 1 к частице 2.
Модуль вектора перемещения первой частицы:
$l_1=l_2(\upsilon/u)$.