2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Догонялки
Сообщение28.05.2022, 03:52 
Заслуженный участник


23/07/08
9878
Crna Gora
wrest
Очень красиво и наглядно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение28.05.2022, 06:36 
Заслуженный участник


23/07/08
9878
Crna Gora
Хочу показать одно из своих решений. Оно простое, только в нём используются не совсем обычные операции над векторами. Будем понимать каждый вектор $\mathbf a$ с декартовыми компонентами $(a_x, a_y)$ как комплексное число $a_x+ia_y$. Тогда векторы можно умножать и делить, как комплексные числа, получая новые векторы. Например, вектор $\mathbf a\mathbf k$ получается из вектора $\mathbf a$ растяжением в $|\mathbf k|$ раз и поворотом на угол $\arg \mathbf k$ против часовой стрелки.

Обозначения:
$\mathbf v_1(t), \mathbf v_2(t)$ — скорости частиц;
$\mathbf r_1(t), \mathbf r_2(t)$ — радиус-векторы частиц.

Предположим, что радиус-вектор точки встречи $\mathbf r_0$ обладает следующим свойством:
$\dfrac{\mathbf r_1-\mathbf r_0}{\mathbf v_1}=\dfrac{\mathbf r_2-\mathbf r_0}{\mathbf v_2}$
Уравнение говорит о том, что вектор $\mathbf r_1-\mathbf r_0$ получается из вектора $\mathbf v_1$ тем же растяжением и поворотом, что и вектор $\mathbf r_2-\mathbf r_0$ из вектора $\mathbf v_2$. Отсюда находим:
$\mathbf r_0=\mathbf r_2-\dfrac{\mathbf v_2}{\mathbf v_2-\mathbf v_1}(\mathbf r_2-\mathbf r_1)$

Чтобы проверить предположение, нужно убедиться в том, что:
1) Когда $\mathbf r_1=\mathbf r_2$ (момент встречи частиц), $\mathbf r_0$ с ними совпадает. Очевидно, это выполняется.
2) $\mathbf r_0$ не зависит от времени, хотя все векторы в правой части зависят.
Для проверки 2) возьмём производную по времени от правой части. Заметим, что множитель $\frac{\mathbf v_2}{\mathbf v_2-\mathbf v_1}$ константа, потому что векторы скорости в произвольный момент времени получаются поворотом их начальных значений на угол $\varphi(t)$, один и тот же для $\mathbf v_1$ и $\mathbf v_2$. Этому повороту соответствует умножение на множитель $e^{i\varphi(t)}$, который сокращается. Тогда
$\dfrac{d}{dt}\mathbf r_0=\mathbf v_2-\dfrac{\mathbf v_2}{\mathbf v_2-\mathbf v_1}(\mathbf v_2-\mathbf v_1)=\mathbf 0$


В некоторый ("начальный") момент $t$ до встречи имеем:
$|\mathbf r_2-\mathbf r_0|=\dfrac{|\mathbf v_2|}{|\mathbf v_2-\mathbf v_1|}|\mathbf r_2-\mathbf r_1|$
В левой части искомое перемещение второй частицы. В правой можно управлять только направлением $\mathbf v_2$ (модуль задан). От выбора направления зависит только знаменатель. Применяя к нему теорему косинусов, после замены обозначений получим
Ignatovich в сообщении #1555664 писал(а):
$\l_2$=$\frac{L_0}{\sqrt{1+(\upsilon/u)^2-2(\upsilon/u)\cos(\alpha-\beta)}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение28.05.2022, 08:18 


21/07/20
216
Приведу другое решение.
Векторы перемещения частиц:
$\vec{l}_{1,2}=\upsilon_{1,2}\int\limits_{0}^{t}\vec{\tau}_{1,2}dt$,
где $\vec{\tau}_{1,2}$ - единичные векторы, направленные вдоль скоростей. В любой момент времени угол между этими векторами равен $\beta-\alpha$. Такой же угол между векторами $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ . Модули векторов перемещения относятся как скорости частиц:
$\frac{l_1}{l_2}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{\upsilon}{u}$.
Применяем теорему косинусов к треугольнику со сторонами $l_2$, $l_1$, $L_0$ и углом $\beta-\alpha$, находим $l_2$.
Заметим, что траектории частиц подобны, и могут быть совмещены поворотом и изменением масштаба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение28.05.2022, 14:31 
Заслуженный участник


23/07/08
9878
Crna Gora
У Вас совсем простое решение. :-)
В другом решении я находил явный вид траекторий. Для этого находил компоненты относительной скорости частиц: параллельную вектору $\mathbf r=\mathbf r_2-\mathbf r_1$, соединяющему частицы, и перпендикулярную ему. Обе компоненты постоянны. Параллельная равна скорости уменьшения длины $\mathbf r$ (получается, что длина зависит от времени линейно). А перпендикулярная позволяет найти угловую скорость вращения $\mathbf r$, она обратно пропорциональна времени, оставшемуся до встречи. Из этих соображений получалось, что траектории — логарифмические спирали. Ну, и дальше для расстояния от второй частицы до центра спирали получается та же формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение29.05.2022, 07:37 


21/07/20
216
Забавно получилось.
Если две частицы одновременно стартуют из точек А и Б, движутся с постоянными по величине скоростями, причем одна частица движется по произвольной траектории, а другая так, что в любой момент времени ее скорость направлена противоположно скорости первой частицы, то встретиться частицы могут в точке, положение которой не зависит от формы траектории. Это справедливо и в трехмерном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение30.05.2022, 03:13 
Заслуженный участник


23/07/08
9878
Crna Gora
Ignatovich в сообщении #1555697 писал(а):
Заметим, что траектории частиц подобны, и могут быть совмещены поворотом и изменением масштаба.
При этом траектория второй частицы получается из траектории первой частицы тем же самым поворотом и изменением масштаба, которыми вектор скорости второй частицы получается из вектора скорости первой частицы (в произвольный момент до встречи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение07.06.2022, 16:54 


02/04/18
169
Вот как-то так, совсем строго. Но не слишком ли сложно вышло?

Считаем, что первая частица начинает в координатном центре, а вторая - в точке (1,0). Угол наклона отрезка, соединяющего частицы, обозначим $\varphi$, тогда наклоны векторов скоростей $\varphi-\alpha, \varphi-\beta$; тригонометрические функции этого угла. $\cos\varphi=\frac{\Delta x}{r}, \sin\varphi=\frac{\Delta y}{r}$, где $\Delta x=x_2-x_1, \Delta y=y_2-y_1, r^2=\Delta x^2+\Delta y^2$.
Запишем законы движения частиц:
$$\dot{x}_1=v\cdot\cos(\varphi-\alpha)=\frac{v}{r}\left(\Delta x \cos\alpha+\Delta y \sin\alpha\right)$$
$$\dot{y}_1=v\cdot\sin(\varphi-\alpha)=\frac{v}{r}\left(-\Delta x \sin\alpha+\Delta y \cos\alpha\right)$$
$$\dot{x}_2=u\cdot\cos(\varphi-\beta)=\frac{u}{r}\left(\Delta x \cos\beta+\Delta y \sin\beta\right)$$
$$\dot{y}_2=u\cdot\cos(\varphi-\beta)=\frac{u}{r}\left(-\Delta x \sin\beta+\Delta y \cos\beta\right)$$
Из этого получаем
$$r\Delta\dot{x}=\Delta x(u\cos\beta-v\cos\alpha)+\Delta y(u\sin\beta-v\sin\alpha)=A\Delta x+B\Delta y$$
$$r\Delta\dot{y}=\Delta x(-u\sin\beta+v\sin\alpha)+\Delta y(u\cos\beta-v\cos\alpha)=-B\Delta x+A\Delta y$$
Обозначив $z=\Delta x+i\Delta y$, приходим к уравнениям
$$r\dot{z}=z(A-iB)$$
$$r\dot{z}^*=z^*(A+iB)$$
Обратим внимание, что $z\cdot z^*=r^2$, тогда $\frac{\dot{z}}{z}+\frac{\dot{z}^*}{z^*}=\frac{d}{dt}(\ln(z)+\ln(z^*))=\frac{d}{dt}\ln r^2=\frac{2\dot{r}}{r}$
Таким образом, $\dot{r}=A$, и расстояние между частицами изменяется линейно со временем: $r=1+At$.
Подставляя это выражение в систему уравнений выше, получаем:
$$(1+At)\Delta \dot{x}=A\Delta x+B\Delta y$$
$$(1+At)\Delta \dot{y}=-B\Delta x+A\Delta y$$
Разделяя переменные, получаем уравнение, одинаковое для обеих переменных:
$$(1+At)^2\Delta\ddot{x}-A(1+At)\Delta\dot{x}+(A^2+B^2)\Delta x=0$$
Ища решения в виде $\Delta x=cr^\lambda$, получаем из характеристического уравнения, что $\lambda=\frac{A\pm iB}{A}$

Таким образом,
$\Delta x=C_1r(r^{iB/A}-r^{-iB/A})$
$\Delta y=r(C_2r^{iB/A}+(1-C_2)r^{-iB/A})$
Здесь уже учтены начальные условия $\Delta x=0, \Delta y=1$. Учитывая, что в начальный момент $\varphi=\frac{\pi}{2}$, получим, что $\Delta \dot{x}(0)=B, \Delta \dot{y}(0)=A$. Тогда $C_1=\frac{1}{2i}, C_2=\frac{1}{2}$. Так что
$\Delta x=\frac{r}{2i}(r^{iB/A}-r^{-iB/A})=r\sin(\ln(1+At)B/A)$
$\Delta y=\frac{r}{2}(r^{iB/A}+r^{-iB/A})=r\cos(\ln(1+At)B/A)$

Это подставляется в первую систему, тогда комплексная координата второй точки $z_2=x_2+iy_2$ определяется уравнением
$$\dot{z}_2=iu\cdot e^{i(-\xi-\beta)}$$
где обозначено $\xi=\ln(1+At)B/A$
Выражая через $r$, $$\dot{z}_2=iu\cdot e^{-i\beta}r^{-iB/A}$$
Интегрируя это выражение с начальным условием $z_2=i$, получим следующую формулу:
$$z_2=i+\frac{iue^{i\beta}(r^{1-iB/A}-1)}{A-iB}$$
Конечная точка, очевидно, $r=0$, так что конечное положение $Z_2=i-\frac{iue^{-i\beta}}{A-iB}$
Перемещение до этой точки равно $|Z_2-i|=\frac{u}{|A-iB|}$, и его минимизация - это максимизация выражения $A^2+B^2=u^2+v^2-2uv\cos(\alpha-\beta)$, откуда $\cos(\alpha-\beta)=-1$, а значит, $|\alpha-\beta|=\pi$, то есть скорости параллельны, но направлены навстречу друг другу. В этом случае $A^2+B^2=(u+v)^2$, откуда модуль перемещения равен $\frac{u}{u+v}$, причем перемещение произойдет в направлении исходного положения первой частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение08.06.2022, 04:32 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Dendr
Зачем так сложно, если можно просто, как у Ignatovich?
Иногда на задачу надо посмотреть с высоты птичьего полёта, не копаясь в мелких деталях.
Ignatovich
А вам респект и уважуха. :) Уже далеко не первый раз демонстрируете очень элегантные решения.
Я в восторге!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group