Измеримые функции - че-то с ходу не соображу.

[AD]

ewert писал(а):

вообще-то для сходимости по мере ей и не обязательно быть почти всюду непрерывной -- достаточно того, что её саму можно приблизить по мере непрерывными

Но это требовалось в задаче.

Narn писал(а):

А сейчас я не понимаю, как это можно сделать, и можно ли вообще.

А что, мой (второй, разумеется) пример не убеждает?

Narn писал(а):

Она есть у Кириллова-Гвишиани, номер 152.

О! обязательно загляну, спасибо!

[ewert]

AD писал(а):

Narn писал(а):

А сейчас я не понимаю, как это можно сделать, и можно ли вообще.

А что, мой (второй, разумеется) пример не убеждает?

Непосредственно не убеждает; он запрещает приближение снизу, но не сверху.

Правда, если Вашу функцию инвертировать, то вроде бы запрещается и приближение сверху; так что Narn прав.

[AD]

не, ну я ж вроде писал(а):

если кто-нибудь скажет, что зато существует невозрастающая - перейду к функции $g(x)=f(x)-f(x-1)$

[ewert]

AD писал(а):

не, ну я ж вроде писал(а):

если кто-нибудь скажет, что зато существует невозрастающая - перейду к функции $g(x)=f(x)-f(x-1)$

Хм. И не только это писал (в том же посте):

AD писал(а):

Берем характеристическую функцию $f(x)=\chi_E(x)$ множества $E=[0,1]\setminus\mathbb{Q}$.

(меня ещё тогда этот трюк удивил, но не стал вдумываться за несущественностью)

---------------------------------------------------------------
Кстати, по поводу характеристической функции канторова множества. Приблизиться к ней снизу, по-видимому, действительно нельзя, но зато запросто можно приблизиться сверху...

[AD]

В последнем посте ewertа ниччё не понял, но с задачей вроде бы всё понятно, да?

ewert писал(а):

Кстати, по поводу характеристической функции канторова множества. Приблизиться к ней снизу, по-видимому, действительно нельзя, но зато запросто можно приблизиться сверху...

По-моему, я уже третий раз ответ на это замечание повторяю: перейду к функции $g(x)=f(x)-f(x-1)$.

Но - только что заметил - только по условию функция должна быть неотрицательной, поэтому надо переходить к функции $h(x)=g(x)+1$.

_________________

А вообще, да, криво я требование монотонности сформулировал. То есть можно приближаться монотонно в каждой точке, но характер монотонности может быть в разных точках разный. Причем предельный переход под знаком интеграла для такой сходимости ведь тоже можно делать!
Но это не подразумевалось - интересовала все-таки монотонно неубывающая последовательность.